Wie oben beschrieben, wird der beizulegende Preis einer „Straight Bond“ (eine Anleihe ohne eingebettete Optionen; siehe Bond (finance)# Features) in der Regel durch Diskontierung der erwarteten Cashflows zum entsprechenden Diskontsatz bestimmt. Die häufig angewandte Formel wird zunächst diskutiert. Obwohl diese Barwertbeziehung den theoretischen Ansatz zur Bestimmung des Wertes einer Anleihe widerspiegelt, wird ihr Preis in der Praxis (normalerweise) unter Bezugnahme auf andere, liquidere Instrumente bestimmt. Die beiden wichtigsten Ansätze hier, Relative Preise und-Arbitrage-free pricing, werden als Nächstes behandelt., Schließlich kann, wenn es wichtig ist zu erkennen, dass zukünftige Zinssätze ungewiss sind und dass der Diskontsatz nicht ausreichend durch eine einzige feste Zahl dargestellt wird—beispielsweise wenn eine Option auf die betreffende Anleihe geschrieben wird—, stochastisches Kalkül verwendet werden.
Present Value approachEdit
Nachfolgend finden Sie die Formel zur Berechnung des Preises einer Anleihe, die für einen bestimmten Diskontsatz die Formel Basic Present Value (PV) verwendet:Diese Formel geht davon aus, dass gerade eine Kuponzahlung geleistet wurde.
P = ( C 1 + i + C ( 1 + i ) 2 + . . ., + C ( 1 + i ) N ) + M ( 1 + i ) N = ( ∑ n = 1 N C ( 1 + i ) n ) + M ( 1 + i ) N = C ( 1 − ( 1 + i ) − N i ) + M ( 1 + i ) − N {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}P&={\begin{matrix}\left({\frac {C}{1+i}}+{\frac {C}{(1+i) i)^{2}}}+…,)+{\frac {M}{(1+i)^{N}}}\end{matrix}}\\&={\begin{matrix}\left(\sum _{n=1}^{N}{\frac {C}{(1+i)^{n}}}\right)+{\frac {M}{(1+i)^{N}}}\end{matrix}}\\&={\begin{matrix}C\left({\frac {1-(1+i)^{-N}}{i}\right)+M(1+i)^{-N}\end{matrix}}\end{matrix}}} wobei: F = Nennwerte iF = vertraglicher Zinssatz C = F * iF = Kuponzahlung (periodische Zinszahlung) N = Anzahl der Zahlungen i = Marktzinssatz oder erforderliche Rendite oder beobachtete / angemessene Rendite bis zur Fälligkeit (siehe unten) M = Wert bei Fälligkeit entspricht in der Regel Nennwert P = Marktpreis der Anleihe.,
Relative price approachEdit
Im Rahmen dieses Ansatzes—eine Erweiterung oder Anwendung der oben genannten-wird die Anleihe relativ zu einer Benchmark bewertet, in der Regel ein staatliches Wertpapier; siehe Relative Bewertung. Hier wird die Rendite bis zur Fälligkeit der Anleihe auf der Grundlage des Ratings der Anleihe im Verhältnis zu einem Staatssicherheitswert mit ähnlicher Laufzeit oder Laufzeit bestimmt; siehe Credit Spread (Anleihe)., Je besser die Qualität der Anleihe ist, desto geringer ist der Spread zwischen ihrer erforderlichen Rendite und der YTM der Benchmark. Diese erforderliche Rendite wird dann verwendet, um die Cashflows der Anleihe abzuzinsen und i {\displaystyle i} in der obigen Formel zu ersetzen, um den Preis zu erhalten.,
Arbitrage-free Pricing approachEdit
Im Unterschied zu den beiden oben genannten verwandten Ansätzen kann eine Anleihe als „Paket von Cashflows“—Coupon oder Face—betrachtet werden, wobei jeder Cashflow als Nullkupon-Instrument angesehen wird, das am Tag seines Eingangs fällig wird. Anstatt einen einzigen Diskontsatz zu verwenden, sollte man daher mehrere Diskontsätze verwenden, wobei jeder Cashflow zu seinem eigenen Zinssatz abgezinst wird., Hier wird jeder Cashflow separat zum gleichen Zinssatz abgezinst wie eine dem Kupondatum entsprechende Nullkupon-Anleihe und von gleichwertiger Kreditwürdigkeit (wenn möglich von demselben Emittenten wie die zu bewertende Anleihe oder wenn nicht mit dem entsprechenden Kredit-Spread).
Bei diesem Ansatz sollte der Anleihekurs seinen „arbitragefreien“ Preis widerspiegeln, da jede Abweichung von diesem Preis ausgenutzt wird und die Anleihe dann schnell auf ihr korrektes Niveau zurückkehrt. Hier wenden wir die rationale Preislogik in Bezug auf“Vermögenswerte mit identischen Cashflows“ an., Im Einzelnen: (1) Die Kupondaten und Kuponbeträge der Anleihe sind mit Sicherheit bekannt. Daher kann (2) ein Mehrfaches (oder Bruchteil) von Nullkuponanleihen, die jeweils den Kupondaten der Anleihe entsprechen, angegeben werden, um identische Cashflows zur Anleihe zu erzeugen. Somit muss (3) der heutige Anleihekurs der Summe aller seiner Cashflows entsprechen, die zu dem Diskontsatz abgezinst sind, der durch den Wert der entsprechenden ZCB impliziert wird., Wäre dies nicht der Fall, (4) könnte der Arbitrageur seinen Kauf der Anleihe oder der Summe der verschiedenen ZCB billiger finanzieren, indem er den anderen leerverkauft und seine Cashflow-Verpflichtungen gegebenenfalls mit den Coupons oder fälligen Nullen erfüllt. Dann (5) wäre sein „risikofreier“ Arbitrage-Gewinn die Differenz zwischen den beiden Werten. Siehe unter Rational Pricing#Festverzinsliche Wertpapiere.,
Stochastic calculus approachEdit
Bei der Modellierung einer Anleiheoption oder eines anderen Zinsderivats (IRD) ist es wichtig zu erkennen, dass zukünftige Zinssätze unsicher sind und daher der / die oben genannte(n) Diskontsatz (e) in allen drei Fällen—d. H. Ob für alle Coupons oder für jeden einzelnen Coupon—nicht ausreichend durch eine feste (deterministische) Zahl dargestellt wird. In solchen Fällen wird stochastischer Kalkül verwendet.
Die Lösung für die PDE (d.h. die entsprechende Formel für den Bond-Wert) – gegeben in Cox et al., — ist:
P = E t ∗ {\displaystyle P=E_{t}^{\ast }}
wobei E t ∗ {\displaystyle E_{t}^{\ast }} die Erwartung in Bezug auf risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten ist und R(t , T ) {\displaystyle R (t,T)} eine Zufallsvariable ist, die den Diskontsatz darstellt; siehe auch Martingale pricing.
Um den Anleihekurs tatsächlich zu bestimmen, muss der Analyst das spezifische Short-Rate-Modell wählen, das verwendet werden soll. Die am häufigsten verwendeten Ansätze sind:
- das CIR-Modell
- das Black–Derman–Toy-Modell
- das Hull-White-Modell
- das HJM-Framework
- das Chen-Modell.,
Beachten Sie, dass je nach ausgewähltem Modell möglicherweise keine Lösung in geschlossener Form („Black like“) verfügbar ist und dann eine gitter-oder simulationsbasierte Implementierung des betreffenden Modells verwendet wird. Siehe auch Anleiheoption § Bewertung.