Starověké GreeceEdit
první důkaz existence iracionálních čísel je obvykle přičítán Pythagorejské (možná Hippasus Metapontu), který se pravděpodobně objevil při identifikaci stranách pentagram.Tehdejší Pythagorova metoda by tvrdila, že musí existovat nějaká dostatečně malá nedělitelná jednotka, která by se mohla rovnoměrně vejít do jedné z těchto délek i do druhé., Hippasus však v 5. století před naším letopočtem dokázal odvodit, že ve skutečnosti neexistuje žádná společná měrná jednotka a že tvrzení o takové existenci bylo ve skutečnosti rozporem. On dělal toto tím, prokazující, že když přepona rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku byl opravdu souměřitelné s nohou, pak jeden z těchto délek měřených v tom, že jednotka měření musí být liché a sudé, což je nemožné. Jeho úvaha je následující:
- Začněte s rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník o straně délky celá čísla a, b a c. Poměr přepony na nohu je reprezentován c:b.,
- Předpokládejme, že A, b A c jsou v nejmenších možných termínech (tj. nemají společné faktory).
- podle Pythagorovy věty: c2 = a2 + b2 = b2+b2 = 2B2. (Protože trojúhelník je rovnoramenný, a = b).
- vzhledem k tomu, c2 = 2B2, c2 je dělitelná 2, a proto i.
- vzhledem k tomu, že c2 je rovnoměrný, musí být C vyrovnaný.
- Protože c je rovnoměrné, dělení c 2 dává celé číslo. Nechť y je toto celé číslo (c = 2y).
- kvadratura obou stran c = 2y výnosy C2 = (2y) 2, nebo c2 = 4y2.
- nahrazení 4Y2 pro c2 v první rovnici (c2 = 2B2) nám dává 4y2= 2B2.,
- dělením 2 výnosy 2Y2 = b2.
- protože y je celé číslo a 2y2 = b2, b2 je dělitelné 2, a proto i.
- vzhledem k tomu, že b2 je rovnoměrný, musí být B vyrovnaný.
- právě jsme ukázali, že b I c musí být rovnoměrné. Proto mají společný faktor 2. To však odporuje předpokladu, že nemají společné faktory. Tento rozpor dokazuje, že c a b nemohou být celá čísla, a tedy existenci číslo, které nelze vyjádřit jako poměr dvou celých čísel.,
řečtí matematici nazývají tento poměr nesouměřitelné veličiny alogos, nebo nevýslovné. Hippasus, nicméně, byl chválen pro jeho úsilí: podle jedné legendy, on dělal jeho objev, když se na moři, a následně byl hozen přes palubu tím, že jeho kolegové Pythagoreans „…za to, že vyrábí prvek ve vesmíru, který popřel…doktrína, že všechny jevy ve vesmíru může být snížena na celá čísla a jejich poměry.“Další legenda říká, že Hippasus byl pro toto zjevení pouze vyhoštěn., Ať už důsledkem toho, Hippasus sám, jeho objev představuje velmi závažný problém, Pythagorejské matematiky, protože to rozbil předpokladu, že počet a geometrie byly neoddělitelné–základ své teorie.
objev nesrovnatelných poměrů svědčí o dalším problému, kterému čelí Řekové: vztahu diskrétního k spojitému. To přinesl na světlo Zeno z Elea, který zpochybnil koncepci, že množství jsou diskrétní a skládají se z konečného počtu jednotek dané velikosti., Posledních řecké pojetí diktoval, že se nutně musí být, pro „celého čísla představují diskrétní objekty, a souměřitelné poměr představuje vztah mezi dvěma kolekce diskrétních objektů,“ ale Zeno zjistil, že ve skutečnosti “ obecně nejsou diskrétní sbírky jednotek; to je důvod, proč poměry nesouměřitelné objeví….uantity jsou, jinými slovy, kontinuální.“To znamená, že na rozdíl od populárního pojetí času nemůže existovat nedělitelná nejmenší měrná jednotka pro jakékoli množství. Ve skutečnosti musí být tyto rozdělení množství nutně nekonečné., Zvažte například segment čáry: tento segment lze rozdělit na polovinu, polovinu rozdělit na polovinu, polovinu na polovinu a tak dále. Tento proces může pokračovat nekonečně, protože vždy je třeba rozdělit další polovinu. Čím vícekrát je segment snížen na polovinu, tím blíže je měrná jednotka na nulu, ale nikdy nedosáhne přesně nuly. To je přesně to, co se Zeno snažil dokázat. Snažil se to dokázat formulováním čtyř paradoxů, které prokázaly rozpory, které jsou vlastní matematickému myšlení času., Zatímco zenovy paradoxy přesně prokázaly nedostatky současných matematických koncepcí, nebyly považovány za důkaz alternativy. V myslích Řeků vyvrácení platnosti jednoho názoru nutně neprokázalo platnost druhého, a proto muselo dojít k dalšímu vyšetřování.
dalším krokem byl Eudoxus Cnidus, který formalizoval novou teorii poměru, která zohledňovala přiměřené i nesrovnatelné množství. Ústředním bodem jeho myšlenky byl rozdíl mezi velikostí a počtem. Velikost „…,nebylo to číslo, ale stálo za subjekty, jako jsou segmenty čáry, úhly, oblasti, objemy a čas, který se mohl měnit, jak bychom řekli, nepřetržitě. Magnitudy byly proti číslům, které přeskočily z jedné hodnoty na druhou, od 4 do 5.“Čísla se skládají z nějaké nejmenší, nedělitelné jednotky, zatímco veličiny jsou nekonečně redukovatelné. Protože žádné kvantitativní hodnoty byly přiřazeny veličin, Eudoxus byl pak schopen na účet pro oba, souměřitelné a nesouměřitelné poměry stanovením poměru, pokud jde o jeho velikost a proporce jako rovnost dvou poměrů., Odebráním kvantitativních hodnot (čísel) z rovnice se vyhnul pasti, že musí vyjádřit iracionální číslo jako číslo. „Eudoxus‘ teorie umožnila řecké matematiky, aby se obrovský pokrok v geometrii, tím, že dodává nutné logický základ pro nesouměřitelné poměry.“Tato nesouladnost je řešena v Euclidových prvcích, kniha X, návrh 9.
v důsledku rozdílu mezi počtem a velikostí se geometrie stala jedinou metodou, která by mohla vzít v úvahu nesrovnatelné poměry., Protože předchozí numerické základy byly stále neslučitelné s pojmem nesouměřitelnosti, řecké pozornost přesunula pryč od těch, číselné představy, jako jsou algebry a zaměřil se téměř výhradně na geometrii. Ve skutečnosti byly v mnoha případech algebraické koncepce přeformulovány na geometrické pojmy. To může vysvětlovat, proč jsme stále představit, x2 a x3 jako x na druhou, x na třetí místo x na druhou, x na třetí., Také zásadní pro Zeno práce s nesrovnatelné veličin bylo základní zaměření na deduktivní uvažování, které vyplynulo z foundational rozbití dřívější řecké matematiky. Zjištění, že některé základní pojetí v rámci stávající teorie byla v rozporu s realitou, vyžadovala úplné a důkladné vyšetřování axiomy a předpoklady, které jsou základem této teorie. Z této nutnosti vyvinul Eudoxus svou metodu vyčerpání, jakýsi reductio ad absurdum, který“…založil deduktivní organizaci na základě explicitních axiomů…“stejně jako“…,posílil dřívější rozhodnutí spoléhat se na deduktivní zdůvodnění důkazu.“Tato metoda vyčerpání je prvním krokem při vytváření počtu.
Theodorus z Kyrény dokázal iracionalitu surds celých čísel až 17, ale tam se zastavil, pravděpodobně proto, že algebra použil mohla být použita odmocnina ze dne 17.
až Eudoxus vyvinul teorii poměru, která zohledňovala iracionální i racionální poměry, byl vytvořen silný matematický základ iracionálních čísel.,
IndiaEdit
Geometrické a matematické problémy zahrnující iracionální čísla jako odmocnina byly řešeny velmi brzy během Védského období v Indii. Tam jsou odkazy na tyto výpočty v Samhit, Brahmanové, a Shulba Sútry (800 před naším LETOPOČTEM, nebo dříve). (Viz Bag, Indian Journal of History of Science, 25 (1-4), 1990).
předpokládá se, že pojem iracionality byl implicitně přijat indickými matematiky od 7. století před naším letopočtem, kdy Manava (c., 750 – 690 PŘ.N.L.) věřil, že odmocnina z čísla, například 2 a 61 nelze přesně určit. Historik Carl Benjamin Boyer však píše, že“taková tvrzení nejsou dobře doložena a je nepravděpodobné, že by byla pravdivá“.
To je také navrhl, že Aryabhata (5. století AD), při výpočtu hodnoty pi pro 5 platných číslic, používá slovo āsanna (blížící se), znamená, že nejen, že je tato aproximace ale, že hodnota je nesouměřitelné (nebo iracionální).,
Později, ve svých pojednáních, Indické matematiky napsal na aritmetický surds, včetně sčítání, odčítání, násobení, racionalizace, jakož i separace a extrakce odmocniny.
Matematici jako Brahmagupta (v 628 AD) a Bhāskara jsem (v 629 AD) z příspěvků v této oblasti, stejně jako ostatní matematici, kteří následovali. Ve 12. století Bhāskara II vyhodnoceny některé z těchto vzorců a kritizoval je, určit jejich omezení.,
v Průběhu 14. až 16. století, Madhava z Sangamagrama a Kerala školy astronomie a matematiky objevil nekonečné řady pro několik iracionální čísla jako π a některých iracionálních hodnot goniometrických funkcí. Jyeṣṭhadeva poskytl důkazy pro tyto nekonečné série v Yuktibhāṣā.
Středověkedit
ve středověku vývoj algebry muslimskými matematiky umožnil iracionální čísla považovat za algebraické objekty., Středního Východu matematici také spojil pojmy „číslo“ a „rozsah“ do více obecnou představu o reálných čísel, kritizoval Euclid nápad poměrů, vyvinul teorii kompozitních poměry, a rozšířil pojem číslo, na poměry kontinuální velikosti. Ve svém komentáři na Knihu 10 Prvků, perský matematik Al-Mahani (d. 874/884) zkoumány a klasifikovány kvadratické irrationals a kubických irrationals. Poskytl definice racionálních a iracionálních veličin, které považoval za iracionální čísla., On se zabýval se s nimi volně, ale vysvětluje je v geometrické pojmy takto:
„To bude racionální (velikost), když jsme, například, řekněme, že 10, 12, 3%, 6%, atd., protože jeho hodnota je vyjádřena a vyjádřena kvantitativně. To, co není racionální, je iracionální a není možné kvantitativně vyslovit a reprezentovat jeho hodnotu. Například: kořeny čísel, jako je 10, 15, 20, které nejsou čtverce, strany čísel, které nejsou kostky atd.,“
na rozdíl od Euclid pojetí veličin, jako čáry, Al-Mahani za celých čísel a zlomků racionální veličin, a náměstí kořeny a kostky kořeny jako iracionální veličiny. On také představil aritmetický přístup k pojetí iracionality, jak se atributy následující iracionální veličiny:
„jejich součty nebo rozdíly, nebo výsledky jejich přidávání do rozumné velikosti, nebo výsledky odečítáme velikost tohoto druhu z iracionální, nebo racionální velikost z něj.,“
Egyptské matematik Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850 – 930) byl první přijmout iracionální čísla jako řešení kvadratické rovnice nebo jako koeficienty v rovnici, často ve formě odmocniny, krychle kořenů a čtvrté kořeny. V 10. století poskytl Irácký matematik Al-Hashimi obecné důkazy (spíše než geometrické demonstrace) pro iracionální čísla, protože zvažoval násobení, dělení a další aritmetické funkce., Íránský matematik, Abū Ja ‚ far al-Khāzin (900-971) poskytuje definice racionální a iracionální veličiny, které uvádí, že pokud určitý množství je:
„obsažené v určité dané velikosti jednou nebo několikrát, pak to (vzhledem) velikost odpovídá racionální číslo. . . . Pokaždé, když tato (druhá) velikost obsahuje polovinu nebo třetinu nebo čtvrtinu dané velikosti (jednotky), nebo ve srovnání s (jednotkou) zahrnuje tři, pět nebo tři pětiny, je to racionální velikost., A obecně každá velikost, která odpovídá této velikosti (tj. jednotce), jako jedno číslo k druhému, je racionální. Pokud však velikost nelze vyjádřit jako násobek, část (1/n), nebo jejich části (m/n) dané velikosti, je iracionální, tj. nemůže být vyjádřena jinak než pomocí kořenů.“
mnoho z těchto pojmů nakonec přijali Evropští matematici někdy po latinských překladech 12. století., Al-Hassār, Marocký matematik z Fez specializující se na Islámské dědictví judikatura v průběhu 12. století, první zmínky použití frakční bar, kde čitatele a jmenovatele jsou od sebe odděleny horizontální bar. Ve své diskusi píše,“… například, pokud vám bylo řečeno psát tři pětiny a třetinu pětiny, napište tedy 3 1 5 3 {\displaystyle {\frac {3 \ quad 1}{5 \ quad 3}}}.“Stejná frakční notace se objevuje brzy poté v díle Leonarda Fibonacciho ve 13.století.,
Moderní periodEdit
17. století, viděli imaginární čísla se stal mocným nástrojem v rukou Abraham de Moivre, a zejména Leonhard Euler. Dokončení teorie komplexních čísel v 19. století znamenal diferenciace irrationals do algebraická a transcendentní čísla, důkaz o existenci transcendentální čísla, a oživení vědecké studie z teorie irrationals, do značné míry ignorovány vzhledem k tomu, Euclid., Roku 1872 viděl zveřejnění teorie Karl Weierstrass (jeho žák Ernst Kossak), Eduard Heine (Crelle se Věstníku, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), a Richard Dedekind. Méray vzal v roce 1869 stejný výchozí bod jako Heine, ale teorie je obecně odkazoval se na rok 1872. Weierstrass metoda byla kompletně stanovené Salvatore Pincherle v roce 1880, a Dedekind obdržel další výtečnosti přes autorovu pozdější práci (1888) a potvrzení o Paul Tannery (1894)., Weierstrass, Cantor, a Heine jejich teorie na nekonečné řadě, zatímco Dedekind zakládá na myšlence snížit (Schnitt) v systému všech racionálních čísel, oddělte je do dvou skupin, které mají určité charakteristické vlastnosti. Předmět obdržel pozdější příspěvky z rukou Weierstrasse, Leopolda Kroneckera (Crelle, 101) a Charlese Méraye.,
Pokračovat frakce, úzce souvisí s iracionální čísla (a vzhledem k Cataldi, 1613), získal pozornost na rukou Euler, a při otevření 19. století byly přivezeny do popředí skrze dílo Joseph-Louis Lagrange. Dirichlet také přidal k obecné teorii, stejně jako mnoho přispěvatelů k aplikacím předmětu.
Johann Heinrich Lambert (1761) dokázal, že π nemůže být racionální a že en je iracionální, pokud n je racionální (pokud n = 0)., Zatímco Lambertův důkaz se často nazývá neúplný, moderní hodnocení jej podporují jako uspokojivé a ve skutečnosti je pro svou dobu neobvykle přísné. Adrien-Marie Legendre (1794), po zavedení funkce Bessel–Clifford, poskytl důkaz, který ukázal, že π2 je iracionální, odkud okamžitě následuje, že π je iracionální. Existence transcendentálních čísel byla poprvé založena Liouvillem (1844, 1851). Později Georg Cantor (1873) prokázal svou existenci jinou metodou, která ukázala, že každý interval v reals obsahuje transcendentální čísla., Charles Hermitova (1873) jako první prokázal, e je transcendentální, a Ferdinand von Lindemann (1882), od Hermitova závěry, ukázal stejné pro π. Lindemann je důkazem toho bylo hodně zjednodušené tím, že Weierstrass (1885), ještě dále tím, že David Hilbert (1893), a konečně byla provedena základní Adolf Hurwitz a Paul Gordan.