Matematicky, můžeme konstatovat, zákon poplatku zachování jako rovnice kontinuity:
∂ Q ∂ t = Q N ( t ) − Q O U T ( t ) . {\displaystyle {\frac {\parciální Q} {\parciální t}} = {\dot {Q}} _ {\RM {IN}} (t) – {\dot {Q}}_{\RM {OUT}}(t).}
integrovaná rovnice kontinuity mezi dvěma časovými hodnotami zní:
Q ( t 2 ) = Q ( t 1) + t T 1 t 2 ( Q i n ( t ) − Q O U T (t ) ) d T. {\displaystyle Q(t_{2})=Q(t_{1})+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\dot {Q}}_{\rm {V}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {VEN}}(t)\right)\,\mathrm {d} t.,}
obecné řešení je dosaženo tím, kterým se stanoví počáteční stav čas t 0 {\displaystyle t_{0}} , což vede k integrální rovnici:
Q ( t ) = Q ( t 0 ) + ∫ t 0 t ( Q I N ( τ ) − Q O U T ( τ ) ) d τ . {\displaystyle Q(t)=Q(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {V}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {VEN}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau ., ) ) d τ = 0 ∀ t > t 0 ⟹ Q N ( t ) = Q O U T ( t ) ∀ t > t 0 {\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {V}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {VEN}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau =0\;\;\forall t>t_{0}\;\znamená \;{\dot {Q}}_{\rm {V}}(t)={\dot {Q}}_{\rm {VEN}}(t)\;\;\forall t>t_{0}}
V teorii elektromagnetického pole, vektorový kalkulus mohou být použity k vyjádření zákon z hlediska hustota náboje ρ (v coulombech na metr krychlový) a elektrické proudové hustoty J (v ampérech na metr čtvereční)., Tomu se říká rovnice kontinuity hustoty náboje
ρ ρ ρ t + j j = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}
termín vlevo je rychlost změny hustoty náboje ρ v bodě. Termín vpravo je divergence proudové hustoty J ve stejném bodě. Rovnice odpovídá těmto dvěma faktorům, což říká, že jediný způsob, jak se hustota náboje v bodě změnit, je, aby proud náboje proudil do bodu nebo ven. Toto tvrzení je ekvivalentní zachování čtyřproudu.,
Matematické derivationEdit
čistý proud do svazku
I = − ∬ S J ⋅ d S {\displaystyle I=-\iint \limits _{Y}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S} }
, kde S = ∂V je hranice V orientované směřující normály, a dS je zkratka pro NdS, vnější ukazuje normální hranici ∂V. Zde J je proudová hustota (náboj na jednotku plochy za jednotku času) na povrchu objemu. Vektor ukazuje ve směru proudu.,
Z Divergence věta to lze napsat
I = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) d V, {\displaystyle I=-\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV}
Nabíjení ochrana vyžaduje, že čistá současná do objemu musí nutně rovnat čistý změna náboje v objemu.,
d q d t = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) d V ( 1 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=-\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV\qquad \qquad (1)}
celkový náboj q v objemu V, je integrál (součet) z hustota náboje v V
q = ∭ V ρ d V, {\displaystyle q=\iiint \limits _{V}\rho dV}
Takže, Leibniz nedílnou pravidlo,
d q d t = ∭ V ∂ ρ ∂ t d V ( 2 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=\iiint \limits _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}dV\qquad \qquad \qquad \quad (2)}
Rovnítko mezi (1) a (2) dává
0 = ∭ V ( ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J ) d V ., {\displaystyle 0=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV.}
protože to platí pro každý svazek, máme obecně
ρ ρ ρ t + j j = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}