matematisk kan vi angive loven om charge conservation som en kontinuitetsligning:
∂. t t = I i n ( t ) − O O U t ( t). {\displaystyle {\frac {\delvis Q} {\delvis t}}={\dot {}}}_{\rm {i}}(t)-{\dot {IN}}_{\rm {ud}}(t).}
den integrerede kontinuitetsligning mellem to tidsværdier lyder:
Q ( t 2) = = (T 1) + + t 1 t 2 ( I i n ( t ) − O O U t ( t ) ) d t . {\displaystyle=(T_{2}) = = (t_{1})+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\venstre({\dot {2}} _ {\rm {IN}} (t) – {\dot {OUT}}_{\rm {OUT}}(t)\højre)\,\mathrm {d} t.,}
den generelle løsning opnås ved at fastsætte den oprindelige tilstandstid t 0 {\displaystyle t_{0}} , hvilket fører til den integrerede ligning:
((t)=. (t 0) + + t 0 t ( I i n ( τ ) − O O U T ({)) d τ. {\displaystyle=(t) = = (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\venstre ({\dot {.}}_{\rm {IN}}(\tau )-{\dot {.}}_{\rm {OUT}}(\tau )\højre)\,\mathrm {d} \tau., ) ) d τ = 0 ∀ t > t 0 ⟹ Q N ( t ) = Q O U T ( t ) ∀ t > t 0 {\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {I}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {UD}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau =0\;\;\forall t>t_{0}\;\indebærer,\; {\dot {Q}}_{\rm {I}}(t)={\dot {Q}}_{\rm {UD}}(t)\;\;\forall t>t_{0}}
I elektromagnetiske felt teori, vektor calculus kan bruges til at udtrykke loven i form af afgift massefylde ρ (i coulomb pr kubikmeter) og elektriske strømtæthed J (i ampere per kvadratmeter)., Dette kaldes kontinuitetsligningen for ladningstæthed
∂ t t t + j j = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}
udtrykket til venstre er ændringshastigheden for ladningstætheden at på et punkt. Udtrykket til højre er divergensen af den aktuelle tæthed J på samme punkt. Ligningen svarer til disse to faktorer, som siger, at den eneste måde for ladningstætheden på et punkt at ændre er for en strøm af ladning at strømme ind eller ud af punktet. Denne erklæring svarer til en bevarelse af fire-strøm.,
Matematiske derivationEdit
Den nuværende net i et volumen
I = − ∬ S J ⋅ d S {\displaystyle I=-\iint \grænser _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {R} }
hvor S = ∂V er grænsen af V orienteret med passiv peger raske, og dS er en forkortelse for NdS, de peger udad normal på grænsen ∂V. Her J er den nuværende tæthed (per arealenhed pr tidsenhed) på overfladen af volumen. Vektoren peger i retning af strømmen.,
Fra den Divergens sætning, dette kan være skrevet
I = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) d V {\displaystyle I=-\iiint \grænser _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV}
Opladning bevaring kræver, at netto nuværende i en mængde, må nødvendigvis lig netto ændring i afgift i volumen.,
d q d t = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) d V ( 1 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=-\iiint \grænser _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV\qquad \qquad (1)}
Den samlede ladning q i volumen V er integreret (sum) af afgift tæthed i V
q = ∭ V ρ u V {\displaystyle q=\iiint \grænser _{V}\rho dV}
Så ved Leibniz integreret regel
d q d t = ∭ V ∂ ρ ∂ t d V ( 2 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=\iiint \grænser _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}dV\qquad \qquad \qquad \quad (2)}
Lighedstegn (1) og (2) giver
0 = ∭ V ( ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J ) d V ., {\displaystyle 0=\iiint \grænser _{V}\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV.}
da dette gælder for hvert volumen, har vi generelt
t t t t + j j = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}