Dirac delta funktionen - Knowino

Fra Knowino

gå til: navigation,søg

Dirac delta funktionen er en funktion, der blev indført i 1930 af P. A. M. Dirac i sin skelsættende bog om kvantemekanik. En fysisk model, der visualiserer en delta-funktion, er en massefordeling af endelig total masse m-integralet over massefordelingen., Når fordelingen bliver mindre og mindre, mens M er konstant, massedistribution formindskes til et punkt masse, som per definition er nul omfang, og endnu ikke har en finite-værdi integral lig med totale masse M. I grænsen på et punkt masse distribution bliver en Dirac delta funktionen. heuristisk kan Dirac delta-funktionen ses som en udvidelse af Kronecker-deltaet fra integrerede indekser (elementer af ) til reelle indekser (elementer af )., Bemærk, at Kroneckers delta fungerer som et “filter” i en summering:

I analogi, Dirac delta funktionen δ(x−a) er defineret af (erstat jeg ved x og summation over, at jeg ved en integration i forhold til x),

Dirac delta funktionen er ikke en almindelig velopdragen kort , men en udbredelse, også kendt som en forkert eller generaliseret funktion. Fysikere udtrykker sin specielle karakter ved at oplyse, at Dirac delta-funktionen kun giver mening som en faktor i en integrand (“under integralet”)., Matematikere siger, at delta-funktionen er en lineær funktion på et rum af testfunktioner.

Indhold

1 Egenskaber
2 Delta-konvergente talfølger
- 2.1 Blok funktioner
- 2.2 Gauss-funktioner
- 2.3 Lorentz-Cauchy funktioner
- 2.4 Sinc funktioner
3 Derivater af delta-funktion
- 3.,1 Egenskaber for derivatet
4 Primitive
5 Dirac delta funktionen i tre dimensioner
6 Referencer

Egenskaber

Mest almindeligt at man tager den nedre og den øvre grænse i definitionen af delta-funktion er lig med og , hhv. Herfra vil dette ske.

fysikerens bevis på disse egenskaber fortsætter ved at foretage korrekte substitutioner i integralet og bruge de almindelige regler for integreret beregning., Delta-funktionen som en Fourier-transformation af enhedsfunktionen f ( = ) = 1 (den anden egenskab) vil blive vist nedenfor. Den sidste ejendom er analogien af multiplikation af to identitet matricer,

Fig. 1. Blok (“bo .car”) funktion(rød) gange regelmæssig funktion f ()) (blå).

Delta-konvergerende sekvenser

Der findes familier med regelmæssige funktioner Fa (.), hvoraf familiemedlemmerne adskiller sig med værdien af en enkelt parameter α., Et eksempel på en sådan familie er dannet af familien af gaussiske funktioner Fa (.) = e .p (−a .2), hvor de forskellige værdier af den enkelte parameter α skelner mellem de forskellige medlemmer. Når alle medlemmer er lineært normalizable, dvs, kan de følgende integralet er endeligt, uanset α,

og alle medlemmer peak omkring x = 0, så familien kan danne en delta-konvergent talfølge.,

Blokfunktioner

det enkleste eksempel på en delta-konvergent sekvens dannes af familien af blokfunktioner, kendetegnet ved positiv,,

i fig. 1 blokfunktionen B is vises med rødt. Åbenbart er området (bredde gange højde) under den røde kurve lig med enhed, uanset værdien af

lad den vilkårlige funktion f (.) (blå i Fig. 1) være kontinuerlig (ingen spring) og finite i nærheden af 0=0., Når becomes bliver meget lille, og blokken funktion meget smal (og nødvendigvis meget høj, fordi bredde gange højden er konstant) produktet F ()) B. (.) bliver i god tilnærmelse lig med f(0) b. (.). Jo smallere blokken jo bedre tilnærmelse., Dermed Δ gå til nul,

der kan sammenlignes med den definition af delta-funktion,

Dette viser, at familien af blok-funktioner konvergerer til Dirac delta funktionen for faldende parameter Δ; familien danner et delta-konvergerende forløb:

Fig. 2. Gauss funktioner.

Bemærk: Vi integrerede over hele den virkelige akse., Det er klart, at dette ikke er nødvendigt, vi kunne have udelukket de nulværdige vinger i blokfunktionen og kun integreret over pukkelen i midten, fra-//2 til+. / 2. I matematiske tekster, som f.eks. Ref. er denne forfining i integrationsgrænserne inkluderet i definitionen af delta-konvergent sekvens. Det vil sige, det er nødvendigt, at integralerne over de to vinger forsvinder i grænsen. Fordi de delta-konvergerende sekvenser, der opstår i fysiske applikationer, normalt opfylder denne betingelse, udelader vi den mere nøjagtige matematiske definition.,

gaussiske funktioner

overvej familien,

Som vist i fig. 2 funktionerne topper omkring 0 = 0 og bliver smalere for at reducere α. Dermed familien af Gauss-funktioner danner et delta-konvergent talfølge,

Fig. 3. Lorent.-Cauchy funktioner

Lorent. – Cauchy funktioner

familien af funktioner vist i fig., 3

forms a delta-convergent sequence,

Fig. 4. Sinc functions.

Sinc functions

The family of functions (often called sinc functions) shown in Fig., 4 er

Denne familie konvergerer til delta-funktion for at øge ν

Denne grænse, fører let til Fourier integreret repræsentation af delta-funktion:

så

Dirac delta funktionen er den Fourier-transformation af den enhed funktionen f(x) = 1.

derivater af delta-funktionen

overvej en differentierbar funktion f ()), der forsvinder ved plus og minus uendelighed.,d=”ed7dae11d6″>

På samme måde, som man viser omsætningen regel og Hermiticity af de kvantemekaniske momentum operatør , som vi viste her, at d/dx er anti-Hermitian,

Ja, når vi skriver integreret som et indre produkt, følger det af delvis integration, og den forsvinder af f(x) på integration af grænser, at

Denne omsætning reglen anvendes som definition af differentialkvotient af delta funktion,

hvor det primære viser den første afledte af f(x)., I henhold til definitionen af delta-funktionen evalueres det første derivat i 0 = 0. Hjælp m gange omsætningen regel, følger det, at mth derivat af delta-funktion er defineret ved