Gamle GreeceEdit
Det første bevis på eksistensen af irrationelle tal er normalt tilskrives en Pythagoræiske (eventuelt Hippasus af Metapontum), der sikkert opdaget dem, mens at identificere sider af pentagrammet.Den nuværende Pythagoræiske metode ville have hævdet, at der skal være en tilstrækkelig lille, udelelig enhed, der kunne passe jævnt ind i en af disse længder såvel som de andre., Hippasus var imidlertid i det 5.århundrede f.kr. i stand til at udlede, at der faktisk ikke var nogen fælles måleenhed, og at påstanden om en sådan eksistens faktisk var en modsigelse. Han gjorde dette ved at vise, at hvis hypotenusen i en isosceles højre trekant var faktisk commensurable med et ben, så en af disse længder målt i denne måleenhed skal være både ulige og endda, hvilket er umuligt. Hans argumentation er som følger:
- Start med en ligebenet retvinklet trekant med sidelængderne af heltal a, b, og c. Forholdet mellem hypotenusen at et ben er repræsenteret af c: – b.,
- Antag a, b og c er i de mindste mulige vilkår (dvs.de har ingen fælles faktorer).
- af Pythagoras sætning: c2 = a2+b2 = b2+b2 = 2b2. (Da trekanten er enslig, a = b).
- siden c2 = 2b2 er c2 delelig med 2 og derfor jævn.
- da c2 er lige, skal c være lige.
- da c er lige, dividere c med 2 giver et heltal. Lad y være dette heltal (C = 2y).
- kvadrering af begge sider af c = 2y udbytter c2 = (2y)2 eller c2 = 4y2.
- at erstatte 4y2 med c2 i den første ligning (c2 = 2b2) giver os 4y2= 2b2.,
- dividere med 2 udbytter 2y2 = b2.
- da y er et helt tal, og 2y2 = b2, b2 er delelig med 2, og derfor endda.
- da b2 er lige, skal b være lige.
- Vi har netop vist, at både b og c skal være lige. Derfor har de en fælles faktor på 2. Dette modsiger dog antagelsen om, at de ikke har nogen fælles faktorer. Denne modsigelse beviser, at c og B ikke kan både være heltal, og dermed eksistensen af et tal, der ikke kan udtrykkes som et forhold på to heltal.,
græske matematikere betegnes dette forhold af uforlignelige størrelser alogos eller uforudsigelige. Hippasus, men blev ikke rost for sin indsats: ifølge en legende, han gjorde sin opdagelse, mens ud på havet, og blev efterfølgende smidt overbord af hans kolleger Pythagoreans “…for at have produceret et element i universet, som benægtede…læren om, at alle fænomener i universet, kan reduceres til hele tal og deres nøgletal.”En anden legende siger, at Hippasus blot blev forvist til denne åbenbaring., Uanset hvilken konsekvens at Hippasus selv, hans opdagelse udgjorde et meget alvorligt problem for Pythagoræiske matematik, da det knust den antagelse, at antallet og geometri var uadskillelige–et fundament af deres teori.
opdagelsen af uforlignelige nøgletal var tegn på et andet problem, som grækerne: forholdet mellem det diskrete og det kontinuerlige. Dette blev bragt i lyset af Eleno af Elea, der satte spørgsmålstegn ved opfattelsen af, at mængder er diskrete og består af et begrænset antal enheder af en given størrelse., Tidligere græske forestillinger dikteret, at de nødvendigvis skal være, for “hele tal repræsenterer diskrete objekter, og en commensurable forhold repræsenterer en relation mellem to samlinger af diskrete objekter,” men Zeno fandt, at det i virkeligheden er ” i almindelighed er ikke diskrete samlinger af enheder; dette er grunden til, at forhold mellem inkommensurable vises….med andre ord kontinuerlige.”Hvad dette betyder er, at der i modsætning til den populære opfattelse af tiden ikke kan være en udelelig, mindste måleenhed for nogen mængde. At faktisk skal disse mængdeinddelinger nødvendigvis være uendelige., For eksempel overveje et linjesegment: dette segment kan opdeles i halvdelen, den halve delt i halvdelen, halvdelen af halvdelen i halvdelen og så videre. Denne proces kan fortsætte uendeligt, for der er altid en anden halvdel, der skal deles. Jo flere gange segmentet halveres, jo tættere måleenheden kommer til nul, men den når aldrig nøjagtigt nul. Dette er netop, hvad .eno forsøgte at bevise. Han forsøgte at bevise dette ved at formulere fire paradokser, som viste de modsætninger, der er forbundet med den matematiske tanke om tiden., Mens paradeno ‘ s paradokser præcist demonstreret manglerne i de nuværende matematiske forestillinger, blev de ikke betragtes som bevis for Alternativet. I grækernes sind beviste ikke nødvendigvis gyldigheden af en opfattelse gyldigheden af en anden, og derfor måtte der foretages yderligere undersøgelser.
det næste skridt blev taget af Eudo .us fra Cnidus, som formaliserede en ny teori om proportioner, der tog hensyn til såvel som uforlignelige mængder. Centralt for hans Id.var sondringen mellem størrelse og antal. Størrelsesorden “…,var ikke et tal, men stod for enheder som linjesegmenter, vinkler, områder, volumener og tid, som kunne variere, som vi ville sige, kontinuerligt. Størrelser var imod tal, der sprang fra en værdi til en anden, fra 4 til 5.”Tal er sammensat af nogle mindste, udelelige enhed, mens størrelser er uendeligt reducerbare. Fordi ingen kvantitative værdier, der er tildelt til størrelser, Eudoxus, blev derefter i stand til at redegøre for både commensurable og inkommensurable nøgletal ved at definere et forhold i form af dens størrelse, og andelen som en ligestilling mellem de to nøgletal., Ved at tage kvantitative værdier (tal) ud af ligningen, han undgået den fælde at skulle udtrykke en irrationel tal som et tal. “Eudo .us’ teori gjorde det muligt for de græske matematikere at gøre enorme fremskridt inden for geometri ved at levere det nødvendige logiske fundament for uforlignelige forhold.”Denne inkommensurability behandles i Euclids Elements, bog 9, Proposition 9.
som et resultat af sondringen mellem antal og størrelse blev geometri den eneste metode, der kunne tage højde for uforlignelige forhold., Fordi tidligere numeriske fundamenter stadig var uforenelige med begrebet incommensurability, græsk fokus flyttet væk fra disse numeriske forestillinger såsom algebra og fokuserede næsten udelukkende på geometri. Faktisk i mange tilfælde algebraiske forestillinger blev omformuleret i geometriske termer. Dette kan forklare, hvorfor vi stadig forestiller os22 og .3 som squared kvadrat og.kubik i stedet for. til den anden effekt og. til den tredje effekt., Også afgørende for Zenon ‘ s arbejde med uforlignelige størrelser var det grundlæggende fokus på deduktiv ræsonnement, der skyldtes den grundlæggende rystende af tidligere græsk matematik. Erkendelsen af, at nogle grundlæggende opfattelse inden for den eksisterende teori var i strid med virkeligheden nødvendiggjorde en fuldstændig og grundig undersøgelse af de aksiomer og antagelser, der ligger til grund for denne teori. Ud af denne nødvendighed udviklede Eudo .us sin udmattelsesmetode, en slags reductio ad absurdum at “…etableret den deduktive organisation på grundlag af eksplicitte aksiomer…”såvel som “…,forstærket den tidligere beslutning om at stole på deduktiv begrundelse for bevis.”Denne metode til udmattelse er det første skridt i oprettelsen af calculus.
Theodorus af Cyrene vist irrationalitet af surds af hele tal op til 17, men stoppede der sandsynligvis fordi algebra han brugte ikke kunne anvendes til kvadratroden af 17.
det var ikke før Eudo .us udviklet en teori om proportioner, der tog hensyn til irrationelle samt rationelle nøgletal, at en stærk matematisk fundament af irrationelle tal blev oprettet.,
IndiaEdit
geometriske og matematiske problemer, der involverer irrationelle tal såsom kvadratiske rødder blev behandlet meget tidligt i den vediske periode i Indien. Der er henvisninger til sådanne beregninger, der i Samhitas, Brahmanas, og Shulba Sutras (800 F.KR. eller tidligere). (Se Bag, Indian Journal of History of Science, 25 (1-4), 1990).
det antydes, at begrebet irrationalitet implicit blev accepteret af indiske matematikere siden det 7.århundrede f. kr., da Manava (ca., 750-690 f. kr.) mente, at de firkantede rødder af tal som 2 og 61 ikke kunne bestemmes nøjagtigt. Historikeren Carl Benjamin Boyer skriver imidlertid, at”sådanne påstande ikke er godt underbyggede og usandsynligt vil være sande”.
Det er også foreslået, at Aryabhata (5. århundrede E.KR.), i at beregne en værdi for pi til 5 betydende cifre, bruges ordet āsanna (nærmer sig), til at betyde, at ikke blot er det en tilnærmelse, men at værdien er inkommensurable (eller irrationel).,
senere, i deres treatises, Indiske matematikere skrev om aritmetik surds herunder addition, subtraktion, multiplikation, rationalisering, samt adskillelse og udvinding af kvadratiske rødder.
matematikere gerne Brahmagupta (i 628 AD) og bh .skara I (i 629 AD) gjort bidrag på dette område som gjorde andre matematikere der fulgte. I det 12. århundrede vurderede Bharaskara II nogle af disse formler og kritiserede dem og identificerede deres begrænsninger.,
i løbet af det 14.til 16. århundrede opdagede Madhava fra Sangamagrama og Kerala school of astronomy and mathematics den uendelige serie for flere irrationelle tal, såsom and og visse irrationelle værdier af trigonometriske funktioner. JYE .hadeva fremlagde beviser for disse uendelige serier i yuktibh….
middelalderRediger
i middelalderen tillod udviklingen af algebra af muslimske matematikere irrationelle tal at blive behandlet som algebraiske objekter., Mellemøstlige matematikere fusionerede også begreberne “nummer” og “størrelse” til en mere generel ID.om reelle tal, kritiserede Euclids ID. om forhold, udviklede teorien om sammensatte forhold og udvidede begrebet antal til forhold af kontinuerlig størrelse. I sin kommentar til Bog for 10 af de Elementer, den persiske matematiker Al-Mahani d. 874/884) undersøgt og klassificeret kvadratiske irrationals og kubik irrationals. Han gav definitioner for rationelle og irrationelle størrelser, som han behandlede som irrationelle tal., Han behandlede dem frit, men forklarer dem geometriske termer som følger:
” det vil være en rationel (størrelse), når vi for eksempel siger 10, 12, 3%, 6%, osv., fordi dens værdi er udtalt og udtrykt kvantitativt. Det, der ikke er rationelt, er irrationelt, og det er umuligt at udtale og repræsentere dets værdi kvantitativt. For eksempel: rødderne af tal som 10, 15, 20, som ikke er firkanter, siderne af tal, der ikke er terninger osv.,”
I modsætning til Euclid ‘ s koncept for størrelser som linjer, Al-Mahani betragtes som heltal og brøker som rationelle størrelser, og kvadratrødder og cube roots som irrationelle størrelser. Han indførte også en matematisk tilgang til begrebet irrationalitet, som han tilskriver følgende for at irrationelle størrelser:
“deres beløb eller forskelle, eller resultaterne af deres tillæg til en rationel størrelse, eller resultaterne af at trække en størrelsesorden af denne art fra en irrationel, eller af en rationel størrelse fra det.,”
Den Egyptiske matematiker Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850 – 930) var den første til at acceptere irrationelle tal som løsninger til kvadratiske ligninger eller som koefficienter i en ligning, ofte i form af kvadratrødder, cube roots og fjerde rødder. I det 10. århundrede leverede den irakiske matematiker Al-Hashimi generelle beviser (snarere end geometriske demonstrationer) for irrationelle tal, da han betragtede multiplikation, opdeling og andre aritmetiske funktioner., Iranske matematiker, Abū Ja’far al-Khāzin (900-971) giver en definition af rationelle og irrationelle størrelser, der fastslår, at hvis en bestemt mængde er:
“der er indeholdt i en vis given størrelse en gang eller mange gange, så er denne (givet) omfang svarer til en rationel antal. . . . Hver gang denne (sidstnævnte) størrelsesorden omfatter en halv, eller en tredjedel, eller en fjerdedel af den givne størrelsesorden (af enheden), eller sammenlignet med (enheden), omfatter tre, fem eller tre femtedele, er det en rationel størrelsesorden., Og generelt er hver størrelse, der svarer til denne størrelse (dvs.til enheden), som et tal til et andet, rationelt. Hvis en størrelsesorden imidlertid ikke kan repræsenteres som et multiplum, en del (1/n) eller dele (m/n) af en given størrelse, er den irrationel, dvs.den kan ikke udtrykkes andet end ved hjælp af rødder.”
mange af disse begreber blev til sidst accepteret af europæiske matematikere engang efter de latinske oversættelser af det 12.århundrede., Al-Hassrr, en marokkansk matematiker fra fe.med speciale i islamisk arv retspraksis i det 12. århundrede, nævner først brugen af en brøkdel, hvor tællere og nævnere adskilles af en vandret bjælke. I sin diskussion skriver han,”… for eksempel, hvis du bliver bedt om at skrive tre femtedele, og en tredjedel af en femte skriver således 3 1 5 3 {\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}} .”Denne samme fraktionerede notation vises kort efter i Leonardo Fibonacci’ s arbejde i det 13. århundrede.,
moderne periodEdit
det 17.århundrede så imaginære tal blive et kraftfuldt værktøj i hænderne på Abraham de Moivre, og især af Leonhard Euler. Afslutningen af teorien for komplekse tal i det 19 århundrede indebar, at den differentiering af irrationals i algebraiske og transcendente tal, bevis for eksistensen af transcendente tal, og genopblussen af den videnskabelige undersøgelse af teorien om irrationals, stort set ignoreret siden Euklid., Året 1872 så offentliggørelsen af teorier om Karl Weierstrass (af hans elev Ernst Kossak), Eduard Heine (Crelle s Tidsskrift, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), og Richard Dedekind. M .ray havde taget i 1869 samme udgangspunkt som Heine, men teorien er generelt henvist til året 1872. Weieierstrass ‘s metode er blevet helt fremsat af Salvatore Pincherle i 1880, og Dedekind’ s har modtaget yderligere fremtrædende plads gennem forfatterens senere arbejde (1888) og påtegning af Paul Garverimaskiner (1894)., Weieierstrass, Cantor, og Heine basere deres teorier om uendelig række, mens Dedekind grundlægger Hans på tanken om et snit (Schnitt) i systemet med alle rationelle tal, adskille dem i to grupper med visse karakteristiske egenskaber. Emnet har modtaget senere bidrag i hænderne af Weierstrass, Leopold Kroneckers (Crelle, 101), og Charles Méray.,
Fortsat fraktioner, der er tæt relateret til irrationelle tal (og på grund af Cataldi, 1613), fik opmærksomhed i hænderne på Euler, og ved åbningen af det 19. århundrede blev bragt i forgrunden gennem skrifter af Joseph-Louis Lagrange. Dirichlet også tilføjet til den generelle teori, som har mange bidragydere til anvendelser af emnet.
Johann Heinrich Lambert vist (1761), At π ikke kan være rationel, og at en er irrationel, hvis n er rationel (medmindre n = 0)., Mens Lambert ‘ s bevis kaldes ofte ufuldstændige, moderne vurderinger støtte det som tilfredsstillende, og i virkeligheden for sin tid er det usædvanligt stringent. Adrien-Marie Legendre (1794), efter at indføre Bessel–Clifford funktion, forudsat et bevis for, at π2 er irrationel, hvorfra det følger umiddelbart, at.er irrationel også. Eksistensen af transcendentale tal blev først etableret af Liouville (1844, 1851). Senere beviste Georg Cantor (1873) deres eksistens ved en anden metode, som viste, at hvert interval i realerne indeholder transcendentale tal., Charles Hermite (1873) første viste e transcendental, og Ferdinand von Lindemann (1882), startende fra Hermite ‘ s konklusioner, viste det samme for π. Lindemann ‘ s bevis var meget forenklet ved Weieierstrass (1885), endnu længere ved David Hilbert (1893), og blev endelig gjort elementære ved Adolf Hur .it.og Paul Gordan.