matemáticamente, podemos afirmar la Ley de conservación de carga como una ecuación de continuidad:
∂ Q ∂ T = Q I N ( t ) − Q O U T ( t ) . {\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}={\dot {Q}}_{\rm {EN}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {SALIR}}(t).}
la ecuación de continuidad integrada entre dos valores de tiempo dice:
Q (t 2) = Q ( t 1) + ∫ t 1 t 2 ( Q I N ( t) − Q O U T ( t)) d t . {\displaystyle Q (t_{2}) = Q(t_{1})+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)\right)\,\mathrm {d} t.,}
la solución general se obtiene fijando el tiempo de condición inicial t 0 {\displaystyle T_{0}}, dando lugar a la ecuación integral:
Q ( t ) = Q ( T 0 ) + ∫ t 0 t ( Q i n ( τ ) − Q O U T ( τ ) ) D τ . {\displaystyle Q(t)=Q(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {EN}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {SALIR}}(\tau )\derecho)\,\mathrm {d} \tau ., ) ) D τ = 0 t t > t 0 Q Q I N ( t ) = Q O U T ( t) t t > t 0 {\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {IN}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\RM {out}}(\Tau )\right)\,\mathrm {d} \Tau =0\;\;\forall t>T_{0}\;\implies \;{\Dot {Q}}_{\RM {in}}(t)={\Dot {q}}_{\RM {out}}(t)\;\;\forall t>T_{0}}
en teoría de campos electromagnéticos, el cálculo vectorial se puede utilizar para expresar la ley en términos de densidad de carga ρ (en Coulombs por metro cúbico) y densidad de corriente eléctrica j (en amperios por metro cuadrado)., Esto se denomina ecuación de continuidad de densidad de carga
∂ ρ ∂ t + ⋅ ⋅ J = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}
el término de la izquierda es la tasa de cambio de la densidad de carga ρ en un punto. El término de la derecha es la divergencia de la densidad de corriente J en el mismo punto. La ecuación iguala estos dos factores, que dice que la única manera de que la densidad de carga en un punto cambie es que una corriente de carga fluya hacia o fuera del punto. Esta declaración es equivalente a una conservación de cuatro corrientes.,
derivación Matemáticaeditar
la corriente neta en un volumen es
I = − S S J ⋅ d s {\displaystyle i=-\iint \limits _{s}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S} }
donde S = ∂V es el límite de V orientado por normales hacia afuera, y dS es la abreviatura de NdS, la normal hacia afuera del límite ∂V. aquí J es la densidad de corriente (carga por unidad área por unidad de tiempo) en la superficie del volumen. El vector apunta en la dirección de la corriente.,
del teorema de divergencia se puede escribir
I = − V V (J ⋅ J ) d V {\displaystyle i=-\iiint \limits _{V}\left(\Nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV}
la conservación de la carga requiere que la corriente neta en un volumen necesariamente sea igual al cambio neto en la carga dentro del volumen.,
d p d t = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) d V ( 1 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=-\iiint \límites de _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \derecho)dV\qquad \qquad (1)}
La carga total q en el volumen V es la integral (suma) de la densidad de carga en V
q = ∭ V ρ d V {\displaystyle q=\iiint \límites de _{V}\rho dV}
Así que, por la de Leibniz integral de la regla
d p d t = ∭ V ∂ ρ ∂ t d V ( 2 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=\iiint \límites de _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}dV\qquad \qquad \qquad \quad (2)}
Igualando (1) y (2) da
0 = ∭ V ( ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J ) d V ., {\displaystyle 0=\iiint \ limits _{V} \ left ({\frac {\partial \Rho }{\partial t}}+\Nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV.}
dado que esto es cierto para cada volumen, tenemos en general
∂ ρ ∂ t + J ⋅ J = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}