Grecia Ancianaeditar
la primera prueba de la existencia de números irracionales se atribuye generalmente a un pitagórico (posiblemente Hippaso de Metapontum), que probablemente los descubrió mientras identificaba los lados del pentagrama.El método pitagórico entonces vigente habría afirmado que debe haber alguna unidad suficientemente pequeña e indivisible que pudiera caber uniformemente en una de estas longitudes, así como en la otra., Sin embargo, Hipaso, en el siglo V A.C., fue capaz de deducir que en realidad no había una unidad de medida común, y que la afirmación de tal existencia era de hecho una contradicción. Hizo esto demostrando que si la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles era de hecho conmensurable con una pierna, entonces una de esas longitudes medidas en esa unidad de medida debe ser tanto impar como par, lo cual es imposible. Su razonamiento es el siguiente:
- comience con un triángulo rectángulo isósceles con longitudes laterales de enteros a, b y C. La relación de la hipotenusa a una pierna está representada por c: b.,
- asume que a, b y c están en los términos más pequeños posibles (es decir, no tienen factores comunes).
- Por el teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2 = B2 + b2 = 2b2. (Puesto que el triángulo es isósceles , a = b).
- Desde c2 = 2b2, c2 es divisible por 2, y por lo tanto incluso.
- puesto que c2 es par, c debe ser par.
- dado que c es par, dividir c por 2 produce un entero. Sea y este entero (c = 2y).
- cuadrar ambos lados de c = 2y produce c2 = (2y) 2, o c2 = 4Y2.
- sustituir 4y2 por c2 en la primera ecuación (c2 = 2B2) nos da 4y2= 2B2.,
- dividir por 2 produce 2y2 = b2.
- puesto que y es un entero, y 2y2 = b2, b2 es divisible por 2, y por lo tanto incluso.
- puesto que b2 es par, b debe ser par.
- acabamos de demostrar que b y c deben ser pares. Por lo tanto tienen un factor común de 2. Sin embargo, esto contradice la suposición de que no tienen factores comunes. Esta contradicción prueba que c y b no pueden ser ambos enteros, y por lo tanto la existencia de un número que no puede expresarse como una relación de dos enteros.,
Los matemáticos griegos denominaron a esta relación de magnitudes inconmensurables alogos, o inexpresable. Hippaso, sin embargo, no fue elogiado por sus esfuerzos: según una leyenda, hizo su descubrimiento mientras estaba en el mar, y posteriormente fue arrojado por la borda por sus compañeros pitagóricos «for por haber producido un elemento en el universo que negaba la doctrine doctrina de que todos los fenómenos en el universo pueden reducirse a números enteros y sus proporciones.»Otra leyenda afirma que Hippasus era, simplemente, exiliado por esta revelación., Cualquiera que sea la consecuencia para el propio Hippaso, su descubrimiento planteó un problema muy serio para las matemáticas pitagóricas, ya que rompió la suposición de que el número y la geometría eran inseparables, una base de su teoría.
el descubrimiento de relaciones inconmensurables fue indicativo de otro problema que enfrentaban los griegos: la relación de lo discreto con lo continuo. Esto fue sacado a la luz por Zenón de Elea, quien cuestionó la concepción de que las cantidades son discretas y compuestas de un número finito de unidades de un tamaño dado., Las concepciones griegas pasadas dictaron que necesariamente deben ser, porque «los números enteros representan objetos discretos, y una proporción conmensurable representa una relación entre dos colecciones de objetos discretos», pero Zenón encontró que de hecho » en general no son colecciones discretas de unidades; Esta es la razón por la que aparecen proporciones inconmensurables….las uantities son, en otras palabras, continuas.»Lo que esto significa es que, contrariamente a la concepción popular del tiempo, no puede haber una unidad de medida indivisible, más pequeña para cualquier cantidad. Que, de hecho, estas divisiones de cantidad deben ser necesariamente infinitas., Por ejemplo, considere un segmento de línea: este segmento se puede dividir por la mitad, esa mitad dividida por la mitad, la mitad de la mitad por la mitad, y así sucesivamente. Este proceso puede continuar infinitamente, porque siempre hay otra mitad que dividir. Cuantas más veces se divide el segmento a la mitad, más cerca está la unidad de medida a cero, pero nunca llega exactamente a cero. Esto es justo lo que Zeno trató de demostrar. Trató de demostrar esto mediante la formulación de cuatro paradojas, que demostraron las contradicciones inherentes en el pensamiento matemático de la época., Mientras que las paradojas de Zenón demostraron con precisión las deficiencias de las concepciones matemáticas actuales, no fueron consideradas como prueba de la alternativa. En la mente de los griegos, refutar la validez de un punto de vista no probaba necesariamente la validez de otro, y por lo tanto tenía que ocurrir una investigación adicional.
el siguiente paso fue dado por Eudoxus de Cnido, quien formalizó una nueva teoría de la proporción que tenía en cuenta las cantidades tanto conmensurables como inconmensurables. Central a su idea era la distinción entre magnitud y número. Magnitud «…,no era un número, sino que representaba entidades como segmentos de línea, ángulos, áreas, volúmenes y tiempo que podían variar, como diríamos, continuamente. Las Magnitudes se oponían a los números, que saltaban de un valor a otro, como de 4 a 5.»Los números están compuestos de alguna unidad más pequeña e indivisible, mientras que las magnitudes son infinitamente reducibles. Debido a que no se asignaron valores cuantitativos a las magnitudes, Eudoxus fue capaz de dar cuenta de las proporciones conmensurables e inconmensurables al definir una proporción en términos de su magnitud, y la proporción como una igualdad entre dos proporciones., Tomando los valores cuantitativos (números) de la ecuación, evitó la trampa de tener que expresar un número irracional como un número. «La teoría de Eudoxo permitió a los matemáticos griegos hacer un tremendo progreso en Geometría al proporcionar la base lógica necesaria para proporciones inconmensurables.»Esta inconmensurabilidad se trata en elementos de Euclides, libro X, proposición 9.
como resultado de la distinción entre número y magnitud, la geometría se convirtió en el único método que podía tener en cuenta relaciones inconmensurables., Debido a que los fundamentos numéricos anteriores aún eran incompatibles con el concepto de inconmensurabilidad, el enfoque griego se alejó de esas concepciones numéricas como el álgebra y se centró casi exclusivamente en la geometría. De hecho, en muchos casos las concepciones algebraicas fueron reformuladas en términos geométricos. Esto puede explicar por qué todavía concebimos x2 Y x3 como x al cuadrado y x al cubo en lugar de x a la segunda potencia y x a la tercera potencia., También crucial para el trabajo de Zenón con magnitudes inconmensurables fue el enfoque fundamental en el razonamiento deductivo que resultó de la ruptura fundacional de las matemáticas griegas anteriores. La comprensión de que alguna concepción básica dentro de la teoría existente estaba en desacuerdo con la realidad requería una investigación completa y exhaustiva de los axiomas y suposiciones que subyacen a esa teoría. A partir de esta necesidad, Eudoxo desarrolló su método de agotamiento, una especie de reductio ad absurdum que «…estableció la organización deductiva sobre la base de axiomas explícitos…»as well as»…,reforzó la decisión anterior de basarse en el razonamiento deductivo como prueba.»Este método de agotamiento es el primer paso en la creación del cálculo.
Teodoro de Cirene demostró la irracionalidad de los surds de números enteros hasta 17, pero se detuvo allí probablemente porque el álgebra que utilizó no se podía aplicar a la raíz cuadrada de 17.
no fue hasta que eudoxus desarrolló una teoría de la proporción que tuvo en cuenta las relaciones irracionales y racionales que se creó una fuerte base matemática de los números irracionales.,
Indiaeditar
Los problemas geométricos y matemáticos que involucran números irracionales como las raíces cuadradas se abordaron muy temprano durante el período védico en la India. Hay referencias a tales cálculos en los Samhitas, Brahmanas, y los Shulba Sutras (800 AC o antes). (Véase Bag, Indian Journal of History of Science, 25(1-4), 1990).
se sugiere que el concepto de irracionalidad fue aceptado implícitamente por los matemáticos indios desde el siglo VII aC, cuando Manava(C., 750-690 AC) creía que las raíces cuadradas de números como 2 y 61 no podían determinarse exactamente. Sin embargo, el historiador Carl Benjamin Boyer escribe que «tales afirmaciones no están bien fundamentadas y es poco probable que sean ciertas».
también se sugiere que Aryabhata (siglo V DC), al calcular un valor de pi a 5 figuras significativas, usó la palabra āsanna (acercarse), para significar que no solo es esto una aproximación, sino que el valor es inconmensurable (o irracional).,
Más tarde, en sus tratados, los matemáticos Indios escribieron sobre la aritmética de surds incluyendo la adición, Resta, Multiplicación, racionalización, así como la separación y extracción de raíces cuadradas.
matemáticos como Brahmagupta (en 628 DC) y Bhāskara I (en 629 DC) hicieron contribuciones en esta área al igual que otros matemáticos que siguieron. En el siglo XII Bhāskara II evaluó algunas de estas fórmulas y las criticó, identificando sus limitaciones.,
durante los siglos XIV A XVI, Madhava de Sangamagrama y la Escuela de astronomía y matemáticas de Kerala descubrieron la serie infinita para varios números irracionales como π y ciertos valores irracionales de funciones trigonométricas. Jyeṣṭhadeva proporcionó pruebas de estas series infinitas en el Yuktibhāṣā.
edad Mediaeditar
en la Edad Media, el desarrollo del álgebra por los matemáticos musulmanes permitió que los números irracionales fueran tratados como objetos algebraicos., Los matemáticos de Oriente Medio también fusionaron los conceptos de «número» y «magnitud» en una idea más general de números reales, criticaron la idea de Euclides de las relaciones, desarrollaron la teoría de las relaciones compuestas y extendieron el concepto de número a relaciones de magnitud continua. En su comentario sobre el libro 10 de los elementos, el matemático persa al-Mahani (m. 874/884) examinó y clasificó irracionales cuadráticos e Irracionales cúbicos. Proporcionó definiciones para magnitudes Racionales e irracionales, que trató como números irracionales., Trató con ellos libremente, pero los explica en términos geométricos de la siguiente manera:
» será un racional (magnitud) cuando, por ejemplo, digamos 10, 12, 3%, 6%, etc., porque su valor es pronunciado y expresado cuantitativamente. Lo que no es racional es irracional y es imposible pronunciar y representar su valor cuantitativamente. Por ejemplo: las raíces de números como 10, 15, 20 que no son cuadrados, los lados de números que no son cubos, etc.,»
en contraste con el concepto de Euclides de magnitudes como líneas, al-Mahani considera enteros y fracciones como magnitudes racionales, y raíces cuadradas y raíces cúbicas como magnitudes irracionales. También introdujo un enfoque aritmético al concepto de irracionalidad, ya que atribuye lo siguiente a magnitudes irracionales:
» sus sumas o diferencias, o resultados de su adición a una magnitud racional, o resultados de sustraer una magnitud de este tipo de una irracional, o de una magnitud racional de ella.,»
El matemático Egipcio Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850 – 930) fue el primero en aceptar los números irracionales como las soluciones a ecuaciones cuadráticas o como coeficientes en una ecuación, a menudo en forma de raíces cuadradas, raíces cúbicas y cuarto raíces. En el siglo X, el matemático iraquí Al-Hashimi proporcionó pruebas generales (en lugar de demostraciones geométricas) para los números irracionales, ya que consideraba la multiplicación, la división y otras funciones aritméticas., El matemático iraní Abū Ja’far al-Khāzin (900-971) proporciona una definición de magnitudes Racionales e Irracionales, afirmando que si una cantidad definida es:
«contenida en una cierta magnitud dada una o muchas veces, entonces esta magnitud (dada) corresponde a un número racional. . . . Cada vez que esta (última) magnitud comprende la mitad, o un tercio, o un cuarto de la magnitud dada (de la unidad), o, en comparación con (la unidad), comprende tres, cinco, o tres quintos, es una magnitud racional., Y, en general, cada magnitud que corresponde a esta magnitud (es decir, a la unidad), como un número a otro, es racional. Si, sin embargo, una magnitud no puede ser representada como un múltiplo, una parte (1/n), o partes (m/n) de una magnitud dada, es irracional, es decir, no puede ser expresada de otra manera que por medio de raíces.»
Muchos de estos conceptos fueron finalmente aceptados por los matemáticos Europeos en algún momento después de las traducciones latinas del siglo 12., Al-Hassār, un matemático marroquí de Fez especializado en jurisprudencia de herencia islámica durante el siglo XII, menciona por primera vez el uso de una barra fraccionada, donde numeradores y denominadores están separados por una barra horizontal. En su discusión escribe:»… por ejemplo, si se le dice que escriba tres quintas partes y un tercio de una quinta, escriba así, 3 1 5 3 {\displaystyle {\frac {3 \ quad 1}{5 \ quad 3}}} .»Esta misma notación fraccionaria aparece poco después en la obra de Leonardo Fibonacci en el siglo 13.,
período Modernoeditar
el siglo XVII vio los números imaginarios convertirse en una poderosa herramienta en manos de Abraham De Moivre, y especialmente de Leonhard Euler. La finalización de la teoría de los números complejos en el siglo XIX implicó la diferenciación de los irracionales en números algebraicos y trascendentales, la prueba de la existencia de los números trascendentales, y el resurgimiento del estudio científico de la teoría de los irracionales, en gran parte ignorada desde Euclides., El año 1872 vio la publicación de las teorías de Karl Weierstrass (por su alumno Ernst Kossak), Eduard Heine (Diario de Crelle, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), y Richard Dedekind. Méray había tomado en 1869 el mismo punto de partida que Heine, pero la teoría se refiere generalmente al año 1872. El método de Weierstrass ha sido completamente establecido por Salvatore Pincherle en 1880, y el de Dedekind ha recibido prominencia adicional a través del trabajo posterior del autor (1888) y el respaldo de Paul Tannery (1894)., Weierstrass, Cantor y Heine basan sus teorías en series infinitas, mientras que Dedekind funda la suya en la idea de un corte (Schnitt) en el sistema de todos los números racionales, separándolos en dos grupos que tienen ciertas propiedades características. El tema ha recibido contribuciones posteriores de la mano de Weierstrass, Leopold Kronecker (Crelle, 101) y Charles Méray.,
Las fracciones continuas, estrechamente relacionadas con los números irracionales (y debido a Cataldi, 1613), recibieron atención a manos de Euler, y en la apertura del siglo XIX se pusieron en prominencia a través de los escritos de Joseph-Louis Lagrange. Dirichlet también añadió a la teoría general, al igual que numerosos contribuyentes a las aplicaciones del tema.
Johann Heinrich Lambert demostró (1761) Que π No puede ser racional, y que en es irracional si n es racional (a menos que n = 0)., Mientras que la prueba de Lambert a menudo se llama incompleta, las evaluaciones modernas la apoyan como satisfactoria, y de hecho para su tiempo es inusualmente rigurosa. Adrien-Marie Legendre (1794), después de introducir la función de Bessel–Clifford, proporcionó una prueba para demostrar que π2 es irracional, de donde se deduce inmediatamente Que π también es irracional. La existencia de los números trascendentales fue establecida por primera vez por Liouville (1844, 1851). Más tarde, Georg Cantor (1873) demostró su existencia por un método diferente, que demostró que cada intervalo en los reales contiene números trascendentales., Charles Hermite (1873) demostró por primera vez e trascendental, y Ferdinand von Lindemann (1882), a partir de las conclusiones de Hermite, mostró lo mismo Para π. La prueba de Lindemann fue muy simplificada por Weierstrass (1885), aún más por David Hilbert (1893), y finalmente se hizo elemental por Adolf Hurwitz y Paul Gordan.