La regla de Simpson es un método para la integración numérica. En otras palabras, es la aproximación numérica de integrales definidas.,
la regla de Simpson es como sigue:
En ella,
-
f(x)se llama el integrando -
a= límite inferior de integración -
b= límite superior de integración
de Simpson de 1/3 de la Regla
Como se muestra en el diagrama anterior, el integrando f(x) es aproximar por un polinomio de segundo orden; el cuadrática interpolant ser P(x).,
La aproximación de la siguiente manera,
la Sustitución de (b-a)/2 h, nos,
Como puede ver, hay un factor de 1/3 en la expresión anterior. Por eso, se llama la regla de Simpson de 1/3.
si una función es altamente oscilatoria o carece de derivadas en ciertos puntos, entonces la regla anterior puede no producir resultados precisos.
una forma común de manejar esto es usando el enfoque compuesto de reglas de Simpson., Para hacer esto, divide en subintervalos pequeños, luego aplica la regla de Simpson a cada subintervalo. Luego, sume los resultados de cada cálculo para producir una aproximación sobre toda la integral.
si el intervalo se divide en n subintervalos, y n es un número par, la regla de Simpson compuesta se calcula con la siguiente fórmula:
donde XJ = a+JH para J = 0,1,…,N-1,N con H=(B-A)/N ; en particular, x0 = a y xn = B.,
ejemplo en C++:
para aproximar el valor de la integral dada a continuación donde n = 8:
La regla 3/8 de Simpson
La regla 3/8 de Simpson es similar a la regla 1/3 de Simpson, la única diferencia es que, para regla 3/8, el interpolante es un polinomio cúbico. Aunque la regla 3/8 utiliza un valor de función más, es aproximadamente el doble de precisa que la regla 1/3.,
Simpson’s 3/8 rule states :
Replacing (b-a)/3 as h, we get,
Simpson’s 3/8 rule for n intervals (n should be a multiple of 3):
where xj = a+jh for j = 0,1,…,n-1,n with h=(b-a)/n; in particular, x0 = a and xn = b.