comme ci-dessus, le juste prix d’une « obligation directe » (une obligation sans options intégrées; voir obligations (finance)# caractéristiques) est généralement déterminé en actualisant ses flux de trésorerie attendus au taux d’actualisation approprié. La formule couramment appliquée est discutée initialement. Bien que cette relation de valeur actuelle reflète l’approche théorique pour déterminer la valeur d’une obligation, dans la pratique, son prix est (généralement) déterminé par référence à d’autres instruments plus liquides. Les deux approches principales ici, prix relatif et prix sans Arbitrage, sont discutées ensuite., Enfin, lorsqu’il est important de reconnaître que les taux d’intérêt futurs sont incertains et que le taux d’actualisation n’est pas correctement représenté par un seul numéro fixe—par exemple lorsqu’une option est inscrite sur l’obligation en question—un calcul stochastique peut être utilisé.
valeur actualisée approchéedit
Voici la formule de calcul du prix d’une obligation, qui utilise la formule de la valeur actualisée de base (PV) pour un taux d’actualisation donné:cette formule suppose qu’un paiement de coupon vient d’être effectué; voir ci-dessous pour les ajustements à d’autres dates.
P = ( C 1 + i + C ( 1 + i ) 2 + . . ., + C ( 1 + i ) N ) + M ( 1 + i ) N = ( ∑ n = 1 N C ( 1 + i ) n ) + M ( 1 + i ) N = C ( 1 − ( 1 + i ) − N i ) + M ( 1 + i ) − N {\displaystyle {\begin{aligné}P&={\begin{matrix}\left({\frac {C}{1+i}}+{\frac {C}{(1+i)^{2}}}+…,(1 +i)^{N}}} \end {matrix}}\\&={\begin{matrix}\left (\sum _{n=1}^{n} {\frac{C} {(1+i)^{n}}}\right)+{\frac {M} {(1+i)^{N}}}\end {matrix}}\\&={\begin{matrix} c\left ({\frac {1-(1+I)^{- N}} {I}}\right)+M(1+i)^{- n}\end {matrix}}\end{aligned}}} où: F = valeurs nominales if = taux d’intérêt contractuel C = F * if = paiement de coupon (paiement périodique d’intérêts) n = nombre de paiements i = taux d’intérêt du marché, ou rendement requis, ou observé / approprié rendement à l’échéance (voir ci-dessous) M = valeur à l’échéance, généralement égale à la valeur nominale P = prix de marché de l’obligation.,
approche du prix relatif
dans le cadre de cette approche—une extension ou une application de ce qui précède—l’obligation sera cotée par rapport à un indice de référence, généralement un titre d’état; voir évaluation Relative. Ici, le rendement à l’échéance de l’obligation est déterminé en fonction de la cote de crédit de l’obligation par rapport à un titre d’État ayant une échéance ou une durée similaire; voir écart de crédit (obligation)., Plus la qualité de l’obligation est bonne, plus l’écart entre son rendement requis et le YTM de l’indice de référence est faible. Ce rendement requis est ensuite utilisé pour actualiser les flux de trésorerie obligataires, en remplaçant i {\displaystyle i} dans la formule ci-dessus, pour obtenir le prix.,
approche de la tarification sans Arbitragemodifier
contrairement aux deux approches connexes ci-dessus, une obligation peut être considérée comme un « ensemble de flux de trésorerie »—coupon ou face—chaque flux de trésorerie étant considéré comme un instrument à coupon zéro arrivant à échéance à la date de réception. Ainsi, plutôt que d’utiliser un seul taux d’actualisation, il faut utiliser plusieurs taux d’actualisation, actualisant chaque flux de trésorerie à son propre taux., Ici, chaque flux de trésorerie est actualisé séparément au même taux qu’une obligation à coupon zéro correspondant à la date du coupon, et de solvabilité équivalente (si possible, du même émetteur que l’obligation évaluée, ou sinon, avec l’écart de crédit approprié).
dans le cadre de cette approche, le prix de l’obligation devrait refléter son prix « sans arbitrage », car tout écart par rapport à ce prix sera exploité et l’obligation reprice alors rapidement à son niveau correct. Ici, nous appliquons la logique de tarification rationnelle relative aux »actifs avec des flux de trésorerie identiques »., En détail: (1) les dates et les montants des coupons de l’obligation sont connus avec certitude. Par conséquent, (2) certains multiples (ou fractions) d’obligations à coupon zéro, chacune correspondant aux dates de coupon de l’obligation, peuvent être spécifiés de manière à produire des flux de trésorerie identiques à l’obligation. Ainsi (3) le prix de l’obligation aujourd’hui doit être égal à la somme de chacun de ses flux de trésorerie actualisés au taux d’actualisation implicite par la valeur de la ZCB correspondante., Si tel n’était pas le cas, (4) l’arbitre pourrait financer son achat de l’obligation ou de la somme des différentes ZCB moins chère, en vendant à découvert l’autre, et en honorant ses engagements de trésorerie en utilisant les coupons ou les zéros arrivant à échéance, selon le cas. Alors (5) SON « sans risque », l’arbitrage profit serait la différence entre les deux valeurs. Voir sous Rational pricing # titres à revenu fixe.,
approche du calcul stochastique
lors de la modélisation d’une option obligataire ou d’un autre dérivé de taux d’intérêt (IRD), il est important de reconnaître que les taux d’intérêt futurs sont incertains et que, par conséquent, le ou les taux d’actualisation mentionnés ci—dessus, dans les trois cas—que ce soit pour tous les coupons ou pour chaque coupon individuel-ne sont pas adéquatement représentés par un nombre fixe(déterministe). Dans de tels cas, le calcul stochastique est utilisé.
la solution à la PDE (c’est — à-dire la formule correspondante pour la valeur de liaison) – donnée dans Cox et al., — is:
P = E T ∗ {\displaystyle P=e_{t}^{\ast }}
où E T ∗ {\displaystyle E_{t}^{\ast }} est l’attente par rapport aux probabilités neutres en matière de risque, et R ( T , T ) {\displaystyle R(T,T)} est une variable aléatoire représentant le taux d’actualisation; Voir Aussi prix Martingale.
pour déterminer réellement le prix de l’obligation, l’analyste doit choisir le modèle de taux court spécifique à utiliser. Les approches couramment utilisées sont les suivantes:
- le modèle CIR
- le Noir–Derman–Jouet modèle
- la Coque-Blanc modèle
- les cadres hjm cadre
- le Chen modèle.,
notez qu’en fonction du modèle sélectionné, une solution de forme fermée (« black like”) peut ne pas être disponible, et une implémentation basée sur un réseau ou une simulation du modèle en question est alors utilisée. Voir aussi option obligataire § évaluation.