Nombre irrationnel

Grèce Anciennemodifier

la première preuve de l’existence des nombres irrationnels est généralement attribuée à un pythagoricien (peut-être Hippase de Metapontum), qui les a probablement découverts en identifiant les côtés du pentagramme.La méthode pythagoricienne alors actuelle aurait prétendu qu’il doit y avoir une unité suffisamment petite et indivisible qui pourrait s’intégrer uniformément dans l’une de ces longueurs ainsi que l’autre., Cependant, Hippase, au 5ème siècle avant JC, a pu déduire qu’il n’y avait en fait pas d’Unité de mesure commune, et que l’affirmation d’une telle existence était en fait une contradiction. Il l’a fait en démontrant que si l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle était effectivement commensurable avec une jambe, alors l’une de ces longueurs mesurées dans cette unité de mesure doit être à la fois impaire et pair, ce qui est impossible. Son raisonnement est le suivant:

• commencez par un triangle rectangle isocèle avec des longueurs latérales d’entiers a, b et C. Le rapport de l’hypoténuse à une jambe est représenté par c: B.,
• supposons que a, b et c sont dans les termes les plus petits possibles (c’est-à-dire qu’ils n’ont pas de facteurs communs).
• Par le théorème de Pythagore: c2 = a2+b2 = b2+b2 = 2b2. (Puisque le triangle est isocèle, a = b).
• puisque c2 = 2B2, c2 est divisible par 2, et donc Pair.
• puisque c2 est pair, c doit être pair.
• puisque c est pair, diviser c par 2 donne un entier. Soit y cet entier (c = 2Y).
• La Quadrature des deux côtés de c = 2y donne c2 = (2y)2, ou c2 = 4Y2.
• remplacer 4Y2 par c2 dans la première équation (c2 = 2B2) nous donne 4y2= 2B2.,
• En divisant par 2, on obtient 2y2 = b2.
• Puisque y est un entier, et 2y2 = b2, b2 est divisible par 2, et donc de même.
• puisque b2 est pair, b doit être pair.
• nous venons de montrer que b et c doivent être égaux. Par conséquent, ils ont un facteur commun de 2. Cependant, cela contredit l’hypothèse selon laquelle ils n’ont pas de facteurs communs. Cette contradiction prouve que c et b ne peuvent pas tous deux être des entiers, et donc l’existence d’un nombre qui ne peut pas être exprimé comme un rapport de deux entiers.,

les mathématiciens Grecs ont appelé ce rapport de grandeurs incommensurables alogos, ou inexprimable. Hippase, cependant, n’a pas été loué pour ses efforts: selon une légende, il a fait sa découverte alors qu’il était en mer, et a ensuite été jeté par-dessus bord par ses compagnons Pythagoriciens « for pour avoir produit un élément dans l’univers qui niait la doctrine that selon laquelle tous les phénomènes dans l’univers peuvent être réduits à des nombres entiers »Une autre légende affirme Qu’Hippase a simplement été exilé pour cette révélation., Quelle que soit la conséquence pour Hippase lui–même, sa découverte a posé un problème très grave aux mathématiques pythagoriciennes, car elle a brisé l’hypothèse que le nombre et la géométrie étaient inséparables-un fondement de leur théorie.

la découverte de rapports incommensurables était révélatrice d’un autre problème auquel étaient confrontés les Grecs: la relation du discret au continu. Cela a été mis en lumière par Zénon D’Élée, qui a remis en question la conception selon laquelle les quantités sont discrètes et composées d’un nombre fini d’unités d’une taille donnée., Les conceptions grecques passées ont dicté qu’ils doivent nécessairement être, car « les nombres entiers représentent des objets discrets, et un rapport commensurable représente une relation entre deux collections d’objets discrets », mais Zénon a constaté qu’en fait  » en général ne sont pas des collections discrètes d’unités; c’est pourquoi des rapports d’incommensurables apparaissent….les uantités sont, en d’autres termes, continues.” Cela signifie que, contrairement à la conception populaire de l’époque, il ne peut y avoir de plus petite unité de mesure indivisible pour une quantité quelconque. Qu’en fait, ces divisions de quantité doivent nécessairement être infinies., Par exemple, considérons un segment de ligne: ce segment peut être divisée en deux, la moitié divisée en deux, la moitié de la moitié de la moitié, et ainsi de suite. Ce processus peut continuer à l’infini, car il y a toujours une autre moitié à diviser. Plus le segment est divisé par deux, plus l’Unité de mesure est proche de zéro, mais elle n’atteint jamais exactement zéro. C’est exactement ce que Zeno a cherché à prouver. Il a cherché à le prouver en formulant quatre paradoxes, qui ont démontré les contradictions inhérentes à la pensée mathématique de l’époque., Alors que les paradoxes de Zénon démontraient avec précision les lacunes des conceptions mathématiques actuelles, ils n’étaient pas considérés comme une preuve de l’alternative. Dans l’esprit des Grecs, réfuter la validité d’un point de vue ne prouvait pas nécessairement la validité d’un autre, et donc une enquête plus approfondie devait avoir lieu.

L’étape suivante a été franchie par Eudoxe de Cnide, qui a formalisé une nouvelle théorie de la proportion qui prenait en compte les quantités commensurables et incommensurables. Au centre de son idée était la distinction entre la grandeur et le nombre. Ampleur « …,n’était pas un nombre, mais représentait des entités telles que les segments de ligne, les angles, les zones, les volumes et le temps qui pouvaient varier, comme nous le dirions, en continu. Les grandeurs étaient opposées aux nombres, qui sautaient d’une valeur à l’autre, de 4 à 5. »Les nombres sont composés d’une plus petite unité indivisible, alors que les grandeurs sont infiniment réductibles. Comme aucune valeur quantitative n’a été attribuée aux grandeurs, Eudoxe a ensuite pu tenir compte des rapports commensurables et incommensurables en définissant un rapport en termes de magnitude, et la proportion comme une égalité entre deux rapports., En prenant des valeurs quantitatives (chiffres) de l’équation, il a évité le piège d’avoir à exprimer un nombre irrationnel comme un nombre. « La théorie d’Eudoxe a permis aux mathématiciens grecs de faire d’énormes progrès en Géométrie en fournissant la base logique nécessaire pour des rapports incommensurables. »Cette incommensurabilité est traitée dans les éléments D’Euclide, Livre X, Proposition 9.

en raison de la distinction entre le nombre et la grandeur, la géométrie est devenue la seule méthode qui pouvait prendre en compte des rapports incommensurables., Parce que les fondements numériques précédents étaient encore incompatibles avec le concept d’incommensurabilité, l’accent Grec s’est éloigné de ces conceptions numériques telles que l’algèbre et s’est concentré presque exclusivement sur la géométrie. En fait, dans de nombreux cas, les conceptions algébriques ont été reformulées en termes géométriques. Cela peut expliquer pourquoi nous concevons toujours x2 et x3 comme x au carré et X au cube au lieu de x à la deuxième puissance et x à la troisième puissance., Également crucial pour le travail de Zénon avec des grandeurs incommensurables était l’accent fondamental sur le raisonnement déductif qui a résulté de l’éclatement fondamental des mathématiques grecques antérieures. La prise de conscience qu’une conception fondamentale de la théorie existante était en contradiction avec la réalité nécessitait une étude complète et approfondie des axiomes et des hypothèses qui sous-tendent cette théorie. De cette nécessité, Eudoxe a développé sa méthode d’épuisement, une sorte de reductio ad absurdum que »…établi l’organisation déductive sur la base d’axiomes explicites…” ainsi « …,renforcé la décision antérieure de s’appuyer sur un raisonnement déductif pour la preuve.” Cette méthode d’épuisement est la première étape dans la création du calcul.

Théodore de Cyrène a prouvé l’irrationalité des surds des nombres entiers jusqu’à 17, mais s’est arrêté là probablement parce que l’algèbre qu’il a utilisée ne pouvait pas être appliquée à la racine carrée de 17.

Ce n’est que lorsque Eudoxe a développé une théorie des proportions qui prenait en compte les rapports irrationnels et rationnels qu’une base mathématique solide de nombres irrationnels a été créée.,

IndiaEdit

Les problèmes géométriques et mathématiques impliquant des nombres irrationnels tels que les racines carrées ont été abordés très tôt pendant la période védique en Inde. Il y a des références à de tels calculs dans les Samhitas, les Brahmanas et les Shulba Sutras (800 avant JC ou plus tôt). (Voir le Sac, Indien Journal de l’Histoire de la Science, de la 25(1-4), 1990).

Il est suggéré que le concept d’irrationalité a été implicitement accepté par les mathématiciens Indiens depuis le 7ème siècle avant JC, lorsque Manava (C., 750-690 BC) croyait que les racines carrées de nombres tels que 2 et 61 ne pouvaient pas être déterminées exactement. Cependant, L’historien Carl Benjamin Boyer écrit que « de telles affirmations ne sont pas bien étayées et peu susceptibles d’être vraies ».

Il est également suggéré Qu’Aryabhata (5ème siècle après JC), en calculant une valeur de pi à 5 chiffres significatifs, a utilisé le mot āsanna (approchant), pour signifier que non seulement il s’agit d’une approximation, mais que la valeur est incommensurable (ou irrationnelle).,

plus tard, dans leurs traités, les mathématiciens Indiens ont écrit sur l’arithmétique des surds, y compris l’addition, la soustraction, la multiplication, la rationalisation, ainsi que la séparation et l’extraction des racines carrées.

des mathématiciens comme Brahmagupta (en 628 après JC) et Bhāskara I (en 629 après JC) ont apporté des contributions dans ce domaine, tout comme d’autres mathématiciens qui ont suivi. Au XIIe siècle, Bhāskara II a évalué certaines de ces formules et les a critiquées, en identifiant leurs limites.,

Au cours des 14e à 16e siècles, Madhava de Sangamagrama et L’école d’astronomie et de mathématiques du Kerala ont découvert la série infinie pour plusieurs nombres irrationnels tels que π et certaines valeurs irrationnelles des fonctions trigonométriques. Jyeṣṭhadeva a fourni des preuves de ces séries infinies dans le Yuktibhāṣā.

moyenModifier

Au Moyen Âge, le développement de l’algèbre par les mathématiciens musulmans a permis de traiter les nombres irrationnels comme des objets algébriques., Les mathématiciens du Moyen-Orient ont également fusionné les concepts de » nombre « et de » magnitude  » en une idée plus générale des nombres réels, critiqué L’idée D’Euclide des rapports, développé la théorie des rapports composites et étendu le concept de nombre aux rapports de magnitude continue. Dans son commentaire sur le livre 10 des éléments, le mathématicien persan Al-Mahani (D. 874/884) a examiné et classé les irrationnels quadratiques et les irrationnels cubiques. Il a fourni des définitions pour les grandeurs rationnelles et irrationnelles, qu’il a traitées comme des nombres irrationnels., Il les a traités librement mais les explique en termes géométriques comme suit:

« ce sera un rationnel (grandeur) Lorsque nous, par exemple, disons 10, 12, 3%, 6%, etc., parce que sa valeur est prononcée et exprimée quantitativement. Ce qui n’est pas rationnel est irrationnel et il est impossible de prononcer et de représenter sa valeur quantitativement. Par exemple: les racines des nombres tels que 10, 15, 20 qui ne sont pas des carrés, les côtés des nombres qui ne sont pas des cubes etc., »

contrairement au concept D’Euclide des grandeurs en tant que lignes, Al-Mahani considérait les entiers et les fractions comme des grandeurs rationnelles, et les racines carrées et les racines cubiques comme des grandeurs irrationnelles. Il a également introduit une approche arithmétique du concept d’irrationalité, car il attribue ce qui suit aux grandeurs irrationnelles:

« leurs sommes ou différences, ou résultats de leur addition à une grandeur rationnelle, ou résultats de soustraction d’une grandeur de ce type d’une grandeur irrationnelle, ou d’une grandeur rationnelle de celle-ci., »

Le mathématicien égyptien Abū Kāmil shujā ibn Aslam (v. 850 – 930) a été le premier à accepter les nombres irrationnels comme solutions à des équations quadratiques ou comme coefficients dans une équation, souvent sous la forme de racines carrées, de racines cubiques et de racines quatrièmes. Au 10ème siècle, le mathématicien irakien Al-Hashimi a fourni des preuves générales (plutôt que des démonstrations géométriques) pour les nombres irrationnels, car il considérait la multiplication, la division et d’autres fonctions arithmétiques., Le mathématicien iranien Abū Ja’far al-Khāzin (900-971) fournit une définition des grandeurs rationnelles et irrationnelles, déclarant que si une quantité définie est:

« contenue dans une certaine grandeur donnée une ou plusieurs fois, alors cette grandeur (donnée) correspond à un nombre rationnel. . . . Chaque fois que cette (dernière) magnitude comprend une moitié, ou un tiers, ou un quart de la magnitude donnée (de l’unité), ou, par rapport à (l’unité), comprend trois, cinq ou trois cinquièmes, c’est une grandeur rationnelle., Et, en général, chaque grandeur qui correspond à cette ampleur (c’est à dire à l’unité), comme un numéro à l’autre, est rationnelle. Si, cependant, une grandeur ne peut pas être représentée par un multiple, une partie (1/n) ou des parties (m/n) d’une magnitude donnée, elle est irrationnelle, c’est-à-dire qu’elle ne peut pas être exprimée autrement qu’au moyen de racines. »

beaucoup de ces concepts ont finalement été acceptés par les mathématiciens européens quelque temps après les traductions latines du 12ème siècle., Al-Hassār, un mathématicien Marocain de Fès spécialisé dans la jurisprudence de l’héritage islamique au 12ème siècle, mentionne pour la première fois l’utilisation d’une barre fractionnaire, où numérateurs et dénominateurs sont séparés par une barre horizontale. Dans sa discussion, écrit-il, « … par exemple, si on vous dit d’écrire trois-cinquièmes et d’un tiers d’un cinquième, d’écrire ainsi, 3 1 5 3 {\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}} . »Cette même notation fractionnaire apparaît peu après dans L’œuvre de Leonardo Fibonacci au 13ème siècle.,

période Modernedit

le 17ème siècle voit les nombres imaginaires devenir un outil puissant entre les mains D’Abraham de Moivre, et surtout de Leonhard Euler. L’achèvement de la théorie des nombres complexes au 19ème siècle a entraîné la différenciation des irrationnels en nombres algébriques et transcendantaux, la preuve de l’existence des nombres transcendantaux et la résurgence de l’étude scientifique de la théorie des irrationnels, largement ignorée depuis Euclide., L’année 1872 voit la publication des théories de Karl Weierstrass (par son élève Ernst Kossak), Eduard Heine (Journal de Crelle, 74), Georg Cantor (Annalen, 5) et Richard Dedekind. Méray avait pris en 1869 le même point de départ que Heine, mais la théorie est généralement renvoyée à l’année 1872. La méthode de Weierstrass a été complètement exposée par Salvatore Pincherle en 1880, et celle de Dedekind a reçu une importance supplémentaire grâce aux travaux ultérieurs de L’auteur (1888) et à L’approbation de Paul Tannery (1894)., Weierstrass, Cantor et Heine fondent leurs théories sur des séries infinies, tandis que Dedekind fonde la sienne sur l’idée d’une coupe (Schnitt) dans le système de tous les nombres rationnels, les séparant en deux groupes ayant certaines propriétés caractéristiques. Le sujet a reçu des contributions ultérieures de Weierstrass, Leopold Kronecker (Crelle, 101) et Charles Méray.,

Les fractions continues, étroitement liées aux nombres irrationnels (et dues à Cataldi, 1613), ont reçu l’attention des mains d’Euler, et à l’ouverture du 19ème siècle ont été mises en évidence par les écrits de Joseph-Louis Lagrange. Dirichlet a également ajouté à la théorie générale, tout comme de nombreux contributeurs aux applications du sujet.

Johann Heinrich Lambert a prouvé (1761) Que π ne peut pas être rationnel, et que en est irrationnel si n est rationnel (sauf si n = 0)., Bien que la preuve de Lambert soit souvent qualifiée d’incomplète, les évaluations modernes la soutiennent comme satisfaisante, et en fait, pour son époque, elle est exceptionnellement rigoureuse. Adrien-Marie Legendre (1794), après avoir introduit la fonction de Bessel–Clifford, a fourni une preuve pour montrer que π2 est irrationnel, d’où il s’ensuit immédiatement que π est irrationnel aussi. L’existence des nombres transcendantaux a été établie pour la première fois par Liouville (1844, 1851). Plus tard, Georg Cantor (1873) a prouvé leur existence par une méthode différente, qui a montré que chaque intervalle dans les réels contient des nombres transcendantaux., Charles Hermite (1873) a d’abord prouvé e transcendantal, et Ferdinand von Lindemann (1882), à partir des conclusions D’Hermite, a montré la même chose pour π. La preuve de Lindemann a été beaucoup simplifiée par Weierstrass (1885), encore plus par David Hilbert (1893), et a finalement été rendue élémentaire par Adolf Hurwitz et Paul Gordan.