La règle de Simpson est une méthode d’intégration numérique. En d’autres termes, c’est l’approximation numérique des intégrales définies.,
la règle de Simpson est comme suit:
En elle,
-
f(x)est appelée à la fonction à intégrer -
a= limite inférieure de l’intégration -
b= limite supérieure de l’intégration
Simpson Règle de 1/3
Comme indiqué dans le diagramme ci-dessus, la fonction à intégrer f(x) est approximée par un polynôme du second ordre; l’équation du second degré interpolant étant P(x).,
Le rapprochement suit,
en Remplaçant (b-a)/2 h, nous obtenons,
Comme vous pouvez le voir, il y a un facteur de 1/3 dans l’expression ci-dessus. C’est pourquoi, cela s’appelle la règle 1/3 de Simpson.
si une fonction est fortement oscillatoire ou manque de dérivées à certains points, alors la règle ci-dessus peut ne pas produire de résultats précis.
Une façon courante de gérer cela est d’utiliser l’approche composite de la règle de Simpson., Pour ce faire, décomposez en petits sous-intervalles, puis appliquez la règle de Simpson à chaque sous-intervalle. Ensuite, additionnez les résultats de chaque calcul pour produire une approximation sur l’intégrale entière.
Si l’intervalle est divisé en n sous-intervalles, et n est un nombre pair, le composite de la règle de Simpson est calculée avec la formule suivante:
où xj = a+jh pour j = 0,1,…,n-1,n avec h=(b-a)/n ; en particulier, x0 = a et xn = b.,
exemple en C++:
pour approximer la valeur de l’intégrale donnée ci-dessous où n = 8:
règle 3/8 de Simpson
La règle 3/8 de Simpson est similaire à la règle 1/3 de Simpson, la seule différence règle 3/8, l’interpolant est un polynôme cubique. Bien que la règle 3/8 utilise une valeur de fonction supplémentaire, elle est environ deux fois plus précise que la règle 1/3.,
Simpson’s 3/8 rule states :
Replacing (b-a)/3 as h, we get,
Simpson’s 3/8 rule for n intervals (n should be a multiple of 3):
where xj = a+jh for j = 0,1,…,n-1,n with h=(b-a)/n; in particular, x0 = a and xn = b.