ősi GreeceEdit
az irracionális számok létezésének első bizonyítéka általában egy pitagorai (esetleg Metapontum Hippasus), aki valószínűleg felfedezte őket, miközben azonosította a pentagram oldalát.Az akkori Pythagorean módszer azt állította volna, hogy kell lennie egy kellően kicsi, oszthatatlan egységnek, amely egyenletesen illeszkedik az egyik ilyen hosszúságba, valamint a másikba., Hippasus azonban az ie 5. században arra a következtetésre jutott, hogy valójában nincs közös mértékegység, és hogy egy ilyen létezés állítása valójában ellentmondás. Ezt azzal bizonyította, hogy ha egy egyenlő szárú derékszögű háromszög hipotenusza valóban arányos a lábával, akkor az adott mértékegységben mért hosszúság egyikének mind páratlan, mind páros, ami lehetetlen. Érvelése a következő:
- Kezdje egy egyenlő szárú derékszögű háromszögrel, amelynek oldalhossza egész a, b és c. a hipotenusz lábhoz viszonyított arányát c:b képviseli.,
- “A”, ” b ” és ” c ” kifejezések a lehető legkisebb mértékben értendők (azaz nincsenek közös tényezőik).
- a pitagorai tétel szerint: c2 = A2 + b2 = b2 + b2 = 2B2. (Mivel a háromszög Egyenlő szárú, a = b).
- mivel c2 = 2B2, a c2 osztható 2-vel, ezért egyenletes.
- mivel a c2 egyenletes, a c-nek egyenletesnek kell lennie.
- mivel a C páros, a C 2-vel való elosztása egész számot eredményez. Legyen y ez az egész szám (c = 2Y).
- A C = 2Y mindkét oldalának négyzete C2 = (2y)2, vagy C2 = 4y2.
- a 4y2 helyettesítése a c2-re az első egyenletben (c2 = 2B2) 4y2= 2B2-t ad nekünk.,
- 2-vel osztva 2y2 = b2.
- mivel y egész szám, és 2y2 = B2, A b2 osztható 2-vel, ezért egyenletes.
- mivel a b2 egyenletes, a b-nek egyenletesnek kell lennie.
- most megmutattuk, hogy mind a b, mind a c egyenletesnek kell lennie. Ezért van egy közös tényező 2. Ez azonban ellentmond annak a feltételezésnek, hogy nincs közös tényezőjük. Ez az ellentmondás bizonyítja, hogy a c és a b nem lehet egyszerre egész szám, így egy olyan szám létezése, amelyet nem lehet két egész szám arányaként kifejezni.,
a görög matematikusok ezt az arányt a nem mérhető nagyságú alogosnak vagy kimondhatatlannak nevezték. Hippasus azonban nem dicsért erőfeszítéseiért: az egyik legenda szerint, ő tette a felfedezést, amíg a tengeren, majd ezt követően a tengerbe dobták a fickó Pythagoreans “…az, hogy készített egy elem az univerzumban, amely tagadta a…doktrína, hogy minden jelenség a világegyetemben lehet csökkenteni, hogy az egész számok, a mutatók.”Egy másik legenda szerint Hippasust csupán száműzték e kinyilatkoztatásért., Bármi legyen is a következménye Hippasusnak, felfedezése nagyon komoly problémát jelentett a pitagorai matematikának, mivel összetörte azt a feltételezést, hogy a szám és a geometria elválaszthatatlanok–elméletük alapja.
az összehasonlíthatatlan arányok felfedezése a görögök előtt álló másik problémára utal: a diszkrét kapcsolat a folytonoshoz. Ezt az Elea Zeno hozta nyilvánosságra, aki megkérdőjelezte azt a felfogást, hogy a mennyiségek diszkrétek, és egy adott méretű véges számú egységből állnak., A korábbi görög elképzelések azt diktálták, hogy feltétlenül kell lenniük, mert “az egész számok diszkrét objektumokat képviselnek, és egy arányos arány a diszkrét objektumok két gyűjteménye közötti kapcsolatot jelenti”, de Zeno úgy találta, hogy valójában “általában” nem különálló egységek gyűjteménye; ezért jelennek meg az összehasonlíthatatlan arányok….az uantities, más szóval, folyamatos.”Ez azt jelenti, hogy az idő népszerű koncepciójával ellentétben nem lehet oszthatatlan, legkisebb mértékegység bármilyen mennyiségre. Valójában ezeknek a mennyiségi felosztásoknak feltétlenül végtelennek kell lenniük., Például, fontolja meg a vonal szegmensét: ez a szegmens felére osztható, a fele kettéosztható, a fele fele fele felére, stb. Ez a folyamat végtelenül folytatódhat, mert mindig van egy másik fele, amelyet fel kell osztani. Minél több alkalommal a szegmens felére csökken, annál közelebb kerül a mértékegység nullához, de soha nem éri el pontosan a nullát. Ezt akarta bizonyítani Zeno. Ezt négy paradoxon megfogalmazásával próbálta bizonyítani, amelyek megmutatták az idő matematikai gondolkodásában rejlő ellentmondásokat., Míg Zeno paradoxonjai pontosan bizonyították a jelenlegi matematikai koncepciók hiányosságait, ezeket nem tekintették az alternatíva bizonyítékának. A görögök elméjében az egyik nézet érvényességének megcáfolása nem feltétlenül bizonyította a másik érvényességét, ezért további vizsgálatokra volt szükség.
a következő lépést a Cnidus Eudoxus tette, aki egy új arányelméletet formalizált, amely figyelembe vette a arányos, valamint az összehasonlíthatatlan mennyiségeket. Ötlete középpontjában a nagyság és a szám megkülönböztetése állt. Egy nagyságrenddel “…,nem egy szám volt, hanem olyan entitások mellett állt, mint a vonalszegmensek, szögek, területek, mennyiségek és az idő, amely-mint mondhatnánk-folyamatosan változhat. A nagyságok ellenezték a számokat, amelyek egyik értékről a másikra ugrottak, 4-ről 5-re.”A számok néhány legkisebb, oszthatatlan egységből állnak, míg a nagyságok végtelenül csökkenthetők. Mivel a magnitúdókhoz nem rendeltek kvantitatív értékeket, az Eudoxus ezután képes volt mind a arányos, mind a nem mérhető arányokat figyelembe venni egy Arány meghatározásával annak nagysága, valamint az arány két arány közötti egyenlőségként., Azáltal, hogy kvantitatív értékeket (számokat) vett ki az egyenletből, elkerülte azt a csapdát, hogy irracionális számot számként kell kifejezni. “Az Eudoxus elmélete lehetővé tette a görög matematikusok számára, hogy óriási előrehaladást érjenek el a geometriában azáltal, hogy ellátták a szükséges logikai alapot az összehasonlíthatatlan arányokhoz.”Ezzel az inkompenzálhatósággal foglalkozik Euclid elemeinek X. könyve, 9.tétel.
a szám és a nagyság közötti különbség eredményeként a geometria lett az egyetlen módszer, amely figyelembe vehette az összehasonlíthatatlan arányokat., Mivel a korábbi numerikus alapok még mindig összeegyeztethetetlenek voltak az összehasonlíthatatlanság fogalmával, a görög fókusz eltolódott azoktól a numerikus fogalmaktól, mint például az algebra, és szinte kizárólag a geometriára összpontosított. Valójában sok esetben az algebrai fogalmakat geometriai kifejezésekké alakították át. Talán ez az oka, amiért még elképzelni x2 meg x3 x négyzet, x köbön, ahelyett, hogy x, hogy a második erő ” x ” a harmadik erő., Zeno összehasonlíthatatlan nagyságú munkája szempontjából is kulcsfontosságú volt a deduktív érvelés alapvető hangsúlya, amely a korábbi görög matematika alapvető megrázkódtatásából származott. Az a felismerés, hogy a létező elméleten belül néhány alapvető koncepció ellentétes a valósággal, szükségessé tette az elmélet alapját képező axiómák és feltételezések teljes körű és alapos vizsgálatát. Ebből a szükségből Eudoxus kifejlesztette a kimerültség módszerét, egyfajta reductio ad absurdum, amely”…a deduktív szervezetet kifejezett axiómák alapján hozták létre…”valamint “…,megerősítette a korábbi döntést, hogy támaszkodni deduktív érvelés bizonyíték.”Ez a kimerülési módszer az első lépés a kalkulus létrehozásában.
Theodorus Cyrene bizonyította irracionalitását a surds egész számok akár 17, de megállt ott valószínűleg azért, mert az algebra ő használt nem lehet alkalmazni, hogy a négyzetgyöke 17.
nem volt addig, amíg Eudoxus kifejlesztett egy arányelméletet, amely figyelembe vette az irracionális, valamint a racionális arányokat, hogy az irracionális számok erős matematikai alapja jött létre.,
IndiaEdit
az irracionális számokat, például a négyzetgyökeket érintő geometriai és matematikai problémákat nagyon korán kezelték Indiában a védikus időszakban. Vannak utalások az ilyen számítások a Samhitas, Brahmanas, valamint a Shulba szútrák (IE 800 vagy korábbi). (Lásd Bag, Indian Journal of History of Science, 25(1-4), 1990).
azt sugallják, hogy az irracionalitás fogalmát implicit módon elfogadták az indiai matematikusok az IE 7. század óta, amikor Manava (c., I. E.750-690) úgy vélte, hogy az olyan számok négyzetgyökét, mint a 2 és a 61, nem lehet pontosan meghatározni. Carl Benjamin Boyer történész azonban azt írja ,hogy “az ilyen állítások nem megalapozottak és nem valószínű, hogy igazak”.
azt is javasolják, hogy az Aryabhata (5.század AD) a PI értékének 5 jelentős számra történő kiszámításakor az āsanna (közeledő) szót használta, hogy azt jelenti, hogy nem csak ez egy közelítés, hanem az érték összehasonlíthatatlan (vagy irracionális).,
Később, a értekezések, Indiai matematikus írta a számtani surds beleértve összeadás, kivonás, szorzás, racionalizálás, valamint az elválás, a kitermelés tér gyökerei.
az olyan matematikusok, mint Brahmagupta (AD 628-ban) és Bhāskara I (AD 629-ben), hozzájárultak ehhez a területhez, mint más matematikusok, akik követték. A 12. században Bhāskara II értékelte ezeket a képleteket, és kritizálta őket, meghatározva azok korlátait.,
a 14-16. század folyamán a Sangamagrama Madhava és a Kerala Csillagászati és matematikai iskola több irracionális számra, például π-re és a trigonometrikus függvények bizonyos irracionális értékeire fedezte fel a végtelen sorozatot. Jyeṣṭhadeva bizonyítékot szolgáltatott erre a végtelen sorozatra a Yuktibhāṣāban.
középkorSzerkesztés
a középkorban az algebra muszlim matematikusok általi fejlődése lehetővé tette az irracionális számok algebrai tárgyként való kezelését., A közel – keleti matematikusok a “szám” és a “magnitúdó” fogalmakat is egyesítették a valós számok általánosabb fogalmává, kritizálták Euclid arányát, kidolgozták a kompozit arányok elméletét, és kiterjesztették a szám és a folyamatos nagyságú arányok fogalmát. Az elemek 10. könyvéhez fűzött kommentárjában al-Mahani perzsa matematikus (d. 874/884) megvizsgálta és osztályozta a négyzetes irracionálisokat és a köbös irracionálisokat. Meghatározásokat adott a racionális és irracionális nagyságokhoz, amelyeket irracionális számokként kezelt., Szabadon foglalkozott velük, de geometriai értelemben a következőképpen magyarázza őket:
” racionális (nagyság) lesz, amikor például azt mondjuk 10, 12, 3%, 6%, stb., mert az értéke kifejeződik és mennyiségileg kifejeződik. Ami nem racionális, az irracionális, és lehetetlen kvantitatív módon kimondani és képviselni az értékét. Például: olyan számok gyökerei, mint a 10, 15, 20, amelyek nem négyzetek, a számok oldalai, amelyek nem kockák stb.,”
ezzel szemben Az, hogy Euklidész koncepció magnitúdója, mint vonalak, Al-Mahani vett egész számok természetesen, mint racionális shapley, valamint négyzetméter gyökerek, a kocka gyökerei, mint irracionális shapley. Azt is be egy számtani megközelítés, hogy a koncepció az irracionalitás, mint ő attribútumok a következő irracionális shapley:
“az összegeket, vagy a különbségeket, vagy eredményeket a mellett, hogy egy racionális mértékű, vagy eredményeit levonva nagysága ezt az irracionális, vagy egy racionális nagysága elől.,”
Az Egyiptomi matematikus, Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850 – 930) elsőként fogadta el az irracionális számokat kvadratikus egyenletek megoldásaként vagy együtthatóként egy egyenletben, gyakran négyzetgyökerek, kockagyökerekek és negyedik gyökerek formájában. A 10. században Az Iraki matematikus, Al-Hashimi általános bizonyítékokkal szolgált (nem geometriai bemutatókkal) az irracionális számokra, mivel a szorzást, a megosztást és más aritmetikai funkciókat tekintette., Iráni matematikus, Abū Dzsa ‘ far asz-Khāzin (900-971) biztosítja a meghatározás, racionális, irracionális nagyságrendű, amely kimondja, hogy ha egy határozott mennyiség:
“tartalmazott egy bizonyos adott nagyságú egyszer vagy többször, akkor ez az (adott) nagysága megfelel a racionális szám. . . . Minden alkalommal, amikor ez az (utóbbi) nagyságrend az adott nagyságrendű (az egység) fele, vagy harmada, vagy negyede, vagy összehasonlítva (az egység), három, öt vagy három ötödből áll, racionális nagyságrendű., Általában minden olyan nagyság, amely megfelel ennek a nagyságrendnek (azaz az egységnek), mint egy szám a másiknak, racionális. Ha azonban egy nagyságrendet nem lehet egy adott nagyságrendű többszörösként, egy részként (1/n) vagy részként (m/n) ábrázolni, akkor irracionális, azaz nem fejezhető ki más, mint gyökerek segítségével.”
ezeknek a fogalmaknak a nagy részét végül elfogadták az Európai matematikusok valamikor a 12.század Latin fordításai után., Al-Hassār, a 12. században az Iszlám öröklési jogra szakosodott Fez Marokkói matematikusa először egy frakcionált sáv használatát említi, ahol a számlálókat és a nevezőket vízszintes sáv választja el egymástól. Vitájában azt írja:”… például, ha azt mondják, hogy írjon háromötödét, harmadát pedig egy ötödiket, írja így, 3 1 5 3 {\displaystyle {\frac {3 \ quad 1}{5 \ quad 3}}}}.”Ugyanez a frakcionált jelölés hamarosan megjelenik Leonardo Fibonacci munkájában a 13. században.,
Modern periodEdit
a 17. században a képzeletbeli számok Abraham de Moivre, különösen Leonhard Euler kezében hatékony eszközré váltak. A komplex számok elméletének befejezése a 19. században az irracionálisok algebrai és transzcendentális számokká történő differenciálódását, a transzcendentális számok létezésének bizonyítékát, valamint az irracionálisok elméletének tudományos tanulmányozásának újjáéledését eredményezte, amelyet Euclid óta nagyrészt figyelmen kívül hagytak., 1872-ben megjelent Karl Weierstrass (tanítványa Ernst Kossak), Eduard Heine (Crelle ‘ s Journal, 74), Georg Cantor (Annalen, 5) és Richard Dedekind elméletei. Méray 1869-ben ugyanarra az indulási pontra jutott, mint Heine, de az elméletet általában az 1872-es évre utalják. Weierstrass módszerét Salvatore Pincherle írta le 1880-ban, Dedekindé pedig a szerző későbbi munkáján (1888) és Paul Tannery (1894) támogatásán keresztül kapott további hangsúlyt., Weierstrass, Cantor és Heine elméleteiket a végtelen sorozatokra alapozzák, míg Dedekind az összes racionális számrendszerben egy vágás (Schnitt) ötletére alapozza, elválasztva őket két olyan csoportra, amelyek bizonyos jellegzetes tulajdonságokkal rendelkeznek. A téma később Weierstrass, Leopold Kronecker (Crelle, 101) és Méray Károly kezébe került.,
az irracionális számokkal szorosan összefüggő (és Cataldinak köszönhetően 1613) frakciók Euler kezébe kerültek, és a 19. század elején Joseph-Louis Lagrange írásai révén kerültek előtérbe. Dirichlet is hozzá az általános elmélet, mint számos közreműködők az alkalmazások a téma.
Johann Heinrich Lambert (1761) bebizonyította, hogy π nem lehet racionális, és hogy en irracionális, ha n racionális (kivéve n = 0)., Bár Lambert bizonyítékát gyakran hiányosnak nevezik, a modern értékelések ezt kielégítőnek tartják, sőt az idő múlásával szokatlanul szigorú. Adrien-Marie Legendre (1794) a Bessel–Clifford funkció bevezetése után bizonyítékot szolgáltatott annak bizonyítására, hogy a π2 irracionális, ahonnan azonnal következik, hogy π irracionális is. A transzcendentális számok létezését először Liouville (1844, 1851) hozta létre. Később Georg Cantor (1873) egy másik módszerrel bizonyította létezését, amely kimutatta, hogy a reálok minden intervalluma transzcendentális számokat tartalmaz., Charles Hermite (1873) először bizonyította e transzcendentális, Ferdinand von Lindemann (1882), kezdve Hermite következtetéseit, ugyanezt mutatta π. Lindemann bizonyítását Weierstrass (1885), David Hilbert (1893), végül Adolf Hurwitz és Paul Gordan készítette el.