matematikailag a töltés megőrzésének törvényét folytonossági egyenletként állíthatjuk be:
∂ Q ∂ T = Q I N ( t ) − Q O U T ( t ) . {\displaystyle {\frac {\parciális Q} {\parciális t}}} = {\dot {Q}} _ {\rm {in}}}} (t) – {\dot {Q}}_{\rm {OUT}}} (t).}
a két időérték közötti integrált folytonossági egyenlet így szól:
Q (T 2) = Q ( t 1) + ∫ t 1 t 2 ( Q I N ( t) − Q O U T ( t)) d t . {\displaystyle Q (t_{2}) = Q (t_{1}) + \ int _ {t_{1}}}^{t_{2}} \ bal ({\dot {Q}}} _ {\rm {in}}}}} (t) – {\dot {Q}} _ {\rm {Out}}}} (t)\, \ mathrm {d} t.,}
az általános megoldást úgy kapjuk meg, hogy rögzítjük a kezdeti állapotidőt t 0 {\displaystyle t_{0}}, ami az integrált egyenlethez vezet:
Q (T) = Q ( t 0) + ∫ t 0 t ( q i N ( τ) − Q O U t ( τ)) d τ . {\displaystyle Q (t) = Q(t_{0})+\int _{t_{0}}}^{t}\bal({\dot {Q}}}_{\rm {in}}}}}} (\tau)- {\dot {Q}}_{\rm {OUT}}}} (\tau)\,\mathrm {D}\tau ., ) ) d τ = 0 ∀ t > t 0 ⟹ K i N ( t ) = Q-O-U-T ( t ) ∀ t > t 0 {\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {A}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {EL}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau =0\;\;\mindazt, t>t_{0}\;\következik,\; {\dot {Q}}_{\rm {A}}(t)={\dot {Q}}_{\rm {EL}}(t)\;\;\mindazt, t>t_{0}}
Az elektromágneses térelmélet, vektor kalkulus lehet kifejezni a törvény szempontjából töltési sűrűség ρ (a coulombs köbméterenként), valamint az elektromos áramsűrűség J (amperben négyzetméterenként)., Ezt nevezzük a töltéssűrűség folytonossági egyenletének
ρ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0. {\displaystyle {\frac {\parciális \ rho } {\parciális t}}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = 0.}
a bal oldali kifejezés a ρ töltési sűrűség változásának sebessége egy ponton. A jobb oldali kifejezés a J áramsűrűség eltérése ugyanazon a ponton. Az egyenlet egyenlővé teszi ezt a két tényezőt, amely azt mondja, hogy a töltési sűrűség egy ponton történő megváltoztatásának egyetlen módja az, ha a töltőáram beáramlik vagy kiáramlik a pontból. Ez az állítás egyenértékű a négyáramú megőrzéssel.,
matematikai származtatásszerkesztés
a nettó áram egy kötetbe
I = − ∬ S J ⋅ d s {\displaystyle I=-\iint \limits _{s}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S}}}
ahol S = ∂V A kifelé mutató normálok által orientált v határa, a dS pedig az NdS rövidítése, a határ külső mutatása normál ∂V. itt J az aktuális sűrűség (töltés). egységnyi terület egységnyi idő alatt) a térfogat felületén. A vektor az áram irányába mutat.,
a Divergencia tétel ez lehet írásos
I = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) a d V {\displaystyle I=-\iiint \határértékek _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV}
Díj megőrzése megköveteli, hogy a nettó jelenlegi a hangerő kell feltétlenül egyenlő a nettó változás a felelős belül a hangerőt., d q d, t = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) a d V ( 1 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=-\iiint \határértékek _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV\qquad \qquad (1)}
A teljes töltés q a kötet V a szerves (sum) a töltési sűrűség a V
q = ∭ V ρ d V {\displaystyle q=\iiint \határértékek _{V}\rho dV}
d q d, t = ∭ V ∂ ρ ∂ t d V ( 2 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=\iiint \határértékek _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}dV\qquad \qquad \qquad \quad (2)}
Megfelel (1) vagy (2) ad
0 = ∭ V ( ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J ) a d V ., {\displaystyle 0 = \ iiint \ limits _{v} \ left ({\FRAC {\parciális \rho }{\parciális t}}}+\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV.}
mivel ez minden kötetre igaz, általában
ρ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0. {\displaystyle {\frac {\parciális \ rho } {\parciális t}}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = 0.}