Irrationale Zahl

Altes Griechischeshit

Der erste Beweis für die Existenz irrationaler Zahlen wird normalerweise einem Pythagoräer (möglicherweise Hippas von Metapontum) zugeschrieben, der sie wahrscheinlich entdeckte, während er Seiten des Pentagramms identifizierte.Die damals aktuelle pythagoreische Methode hätte behauptet, dass es eine ausreichend kleine, unteilbare Einheit geben muss, die gleichmäßig in eine dieser Längen und in die andere passen könnte., Hippas konnte jedoch im 5. Jahrhundert v. Chr. folgern, dass es tatsächlich keine gemeinsame Maßeinheit gab und dass die Behauptung einer solchen Existenz tatsächlich ein Widerspruch war. Er tat dies, indem er demonstrierte, dass, wenn die Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks tatsächlich mit einem Bein vergleichbar war, eine dieser Längen, die in dieser Maßeinheit gemessen wurden, sowohl ungerade als auch gerade sein muss, was unmöglich ist. Seine Argumentation lautet wie folgt:

• Beginnen Sie mit einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck mit Seitenlängen der ganzen Zahlen a, b und c. Das Verhältnis der Hypotenuse zu einem Bein wird durch c:b dargestellt. ,
• Angenommen, a, b und c sind so klein wie möglich (dh sie haben keine gemeinsamen Faktoren).
• Durch den Satz des Pythagoras: c2 = a2+b2 = b2+b2 = 2b2. (Da das Dreieck gleichschenklig ist, a = b).
• Seit c2 = 2b2 ist c2 durch 2 teilbar und daher gerade.
• Da c2 gerade ist, muss c gerade sein.
• Da c gerade ist, ergibt die Division von c durch 2 eine ganze Zahl. Sei y diese ganze Zahl (c = 2y).
• Das Quadrieren beider Seiten von c = 2y ergibt c2 = (2y)2 oder c2 = 4y2.
• Das Ersetzen von 4y2 durch c2 in der ersten Gleichung (c2 = 2b2) ergibt 4y2= 2b2.,
• Dividiert durch 2 ergibt 2y2 = b2.
• Da y eine ganze Zahl ist und 2y2 = b2, ist b2 durch 2 teilbar und daher gerade.
• Da b2 gerade ist, muss b gerade sein.
• Wir haben gerade gezeigt, dass sowohl b als auch c gerade sein müssen. Damit haben Sie einen gemeinsamen Faktor von 2. Dies widerspricht jedoch der Annahme, dass sie keine gemeinsamen Faktoren haben. Dieser Widerspruch beweist, dass c und b nicht beide ganze Zahlen sein können und somit die Existenz einer Zahl, die nicht als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen ausgedrückt werden kann.,

Griechische Mathematiker bezeichneten dieses Verhältnis von inkommensurablen Größen alogos oder unaussprechlich. Hippasus wurde jedoch nicht für seine Bemühungen gelobt: Einer Legende nach machte er seine Entdeckung auf See und wurde anschließend von seinen Pythagoräern über Bord geworfen “ …weil er ein Element im Universum produziert hatte, das die Lehre leugnete, dass alle Phänomene im Universum auf ganze Zahlen und ihre Verhältnisse reduziert werden können.“Eine andere Legende besagt, dass Hippasus nur für diese Offenbarung verbannt wurde., Was auch immer die Konsequenz für Hippasus selbst war, seine Entdeckung stellte die Mathematik des Pythagoras vor ein sehr ernstes Problem, da sie die Annahme erschütterte, dass Zahl und Geometrie untrennbar miteinander verbunden sind–eine Grundlage ihrer Theorie.

Die Entdeckung inkommensurabler Verhältnisse deutete auf ein anderes Problem hin, mit dem die Griechen konfrontiert waren: die Beziehung des Diskreten zum Kontinuierlichen. Dies wurde von Zeno von Elea ans Licht gebracht, der die Vorstellung in Frage stellte, dass Mengen diskret sind und aus einer endlichen Anzahl von Einheiten einer bestimmten Größe bestehen., Frühere griechische Vorstellungen diktierten, dass sie notwendigerweise sein müssen, denn „ganze Zahlen repräsentieren diskrete Objekte, und ein angemessenes Verhältnis stellt eine Beziehung zwischen zwei Sammlungen diskreter Objekte dar“, aber Zeno fand heraus, dass “ im Allgemeinen keine diskreten Sammlungen von Einheiten sind; Deshalb erscheinen Verhältnisse von inkommensurablen … uantities sind, mit anderen Worten, kontinuierlich.“Dies bedeutet, dass es entgegen der populären Vorstellung der Zeit keine unteilbare, kleinste Maßeinheit für irgendeine Menge geben kann. Tatsächlich müssen diese Mengenunterteilungen notwendigerweise unendlich sein., Betrachten Sie beispielsweise ein Liniensegment: Dieses Segment kann in zwei Hälften geteilt werden, die Hälfte in zwei Hälften, die Hälfte der Hälfte in zwei Hälften und so weiter. Dieser Prozess kann unendlich weitergehen, denn es gibt immer eine andere Hälfte zu teilen. Je öfter das Segment halbiert wird, desto näher kommt die Maßeinheit an Null, aber sie erreicht nie genau Null. Genau das wollte Zeno beweisen. Er versuchte dies zu beweisen, indem er vier Paradoxien formulierte, die die Widersprüche aufzeigten, die dem mathematischen Denken der Zeit innewohnten., Während Zenos Paradoxien die Mängel aktueller mathematischer Vorstellungen genau demonstrierten, wurden sie nicht als Beweis für die Alternative angesehen. In den Köpfen der Griechen bewies die Widerlegung der Gültigkeit einer Ansicht nicht unbedingt die Gültigkeit einer anderen, und daher mussten weitere Untersuchungen durchgeführt werden.

Der nächste Schritt wurde von Eudoxus von Cnidus unternommen, der eine neue Proportionstheorie formalisierte, die sowohl angemessene als auch inkommensurable Mengen berücksichtigte. Im Mittelpunkt seiner Idee stand die Unterscheidung zwischen Größe und Zahl. Größenordnung „…,war keine Zahl, sondern stand für Entitäten wie Liniensegmente, Winkel, Bereiche, Volumina und Zeit, die, wie wir sagen würden, kontinuierlich variieren konnten. Größen standen Zahlen gegenüber, die von einem Wert zum anderen sprangen, von 4 auf 5.“Zahlen bestehen aus einer kleinsten, unteilbaren Einheit, während Größen unendlich reduzierbar sind. Da den Größen keine quantitativen Werte zugewiesen wurden, konnte Eudoxus sowohl angemessene als auch inkommensurable Verhältnisse berücksichtigen, indem er ein Verhältnis in Bezug auf seine Größe und das Verhältnis als Gleichheit zwischen zwei Verhältnissen definierte., Indem er quantitative Werte (Zahlen) aus der Gleichung nahm, vermied er die Falle, eine irrationale Zahl als Zahl ausdrücken zu müssen. „Eudoxus‘ Theorie ermöglichte es den griechischen Mathematikern, enorme Fortschritte in der Geometrie zu machen, indem sie die notwendige logische Grundlage für inkommensurable Verhältnisse lieferte.“Diese Inkommensurabilität wird in Euklids Elements, Book X, Proposition 9 behandelt.

Durch die Unterscheidung zwischen Zahl und Größe wurde die Geometrie zur einzigen Methode, die inkommensurable Verhältnisse berücksichtigen konnte., Da frühere numerische Grundlagen immer noch mit dem Konzept der Inkommensurabilität unvereinbar waren, verlagerte sich der griechische Fokus von diesen numerischen Konzeptionen wie Algebra weg und konzentrierte sich fast ausschließlich auf Geometrie. Tatsächlich wurden algebraische Vorstellungen in vielen Fällen zu geometrischen Begriffen umformuliert. Dies kann erklären, warum wir uns x2 und x3 immer noch als x-Quadrat und x-Würfel anstelle von x zur zweiten Potenz und x zur dritten Potenz vorstellen., Entscheidend für Zenos Arbeit mit inkommensurablen Größenordnungen war auch der grundlegende Fokus auf deduktives Denken, der sich aus dem grundlegenden Zerbrechen früherer griechischer Mathematik ergab. Die Erkenntnis, dass eine grundlegende Konzeption innerhalb der bestehenden Theorie im Widerspruch zur Realität stand, erforderte eine vollständige und gründliche Untersuchung der Axiome und Annahmen, die dieser Theorie zugrunde liegen. Aus dieser Notwendigkeit heraus entwickelte Eudoxus seine Erschöpfungsmethode, eine Art reductio ad absurdum das“…etablierte die deduktive Organisation auf der Grundlage expliziter Axiome…“sowie“…,verstärkte die frühere Entscheidung, sich auf deduktive Beweisgründe zu verlassen.“Diese Methode der Erschöpfung ist der erste Schritt bei der Erstellung von Kalkül.

Theodorus von Cyrene bewies die Irrationalität der Suren ganzer Zahlen bis zu 17, hörte aber dort wahrscheinlich auf, weil die von ihm verwendete Algebra nicht auf die Quadratwurzel von 17 angewendet werden konnte.

Erst als Eudoxus eine Proportionstheorie entwickelte, die sowohl irrationale als auch rationale Verhältnisse berücksichtigte, wurde eine starke mathematische Grundlage irrationaler Zahlen geschaffen.,

IndiaEdit

Geometrische und mathematische Probleme mit irrationalen Zahlen wie Quadratwurzeln wurden sehr früh während der vedischen Zeit in Indien angesprochen. Es gibt Hinweise auf solche Berechnungen in den Samhitas, Brahmanen und den Shulba Sutras (800 v. Chr. oder früher). (Siehe Bag, Indian Journal of History of Science, 25(1-4), 1990).

Es wird vermutet, dass das Konzept der Irrationalität implizit von indischen Mathematikern seit dem 7. Jahrhundert vor Christus akzeptiert wurde, als Manava (c., 750-690 v. Chr.) glaubte, dass die Quadratwurzeln von Zahlen wie 2 und 61 nicht genau bestimmt werden konnten. Der Historiker Carl Benjamin Boyer schreibt jedoch, dass „solche Behauptungen nicht gut begründet sind und wahrscheinlich nicht wahr sind“.

Es wird auch vorgeschlagen, dass Aryabhata (5. Jahrhundert n. Chr.) bei der Berechnung eines Wertes von pi bis 5 signifikanten Zahlen das Wort āsanna (Annäherung) verwendete, um zu bedeuten, dass dies nicht nur eine Annäherung ist, sondern dass der Wert inkommensurabel (oder irrational) ist.,

Später schrieben indische Mathematiker in ihren Abhandlungen über die Arithmetik von Surds einschließlich Addition, Subtraktion, Multiplikation, Rationalisierung sowie Trennung und Extraktion von Quadratwurzeln.

Mathematiker wie Brahmagupta (628 n. Chr.) und Bhāskara I (629 n. Chr.) leisteten Beiträge in diesem Bereich, ebenso wie andere Mathematiker, die folgten. Jahrhundert bewertete Bhāskara II einige dieser Formeln und kritisierte sie und identifizierte ihre Grenzen.,Jahrhundert entdeckten Madhava von Sangamagrama und die Kerala School of astronomy and mathematics die unendliche Reihe für mehrere irrationale Zahlen wie π und bestimmte irrationale Werte trigonometrischer Funktionen. JyeṣṭHadeva lieferte Beweise für diese unendlichen Reihen im YuktibhāṣĀ.

Mittelalteredit

Im Mittelalter erlaubte die Entwicklung der Algebra durch muslimische Mathematiker, irrationale Zahlen als algebraische Objekte zu behandeln., Mathematiker des Nahen Ostens fusionierten auch die Begriffe „Zahl“ und „Größe“ zu einer allgemeineren Vorstellung von reellen Zahlen, kritisierten Euklids Idee von Verhältnissen, entwickelten die Theorie der zusammengesetzten Verhältnisse und erweiterten das Konzept der Zahl auf Verhältnisse kontinuierlicher Größe. In seinem Kommentar zu Buch 10 der Elemente untersuchte und klassifizierte der persische Mathematiker Al-Mahani (d. 874/884) quadratische Irrationale und kubische Irrationale. Er lieferte Definitionen für rationale und irrationale Größen, die er als irrationale Zahlen behandelte., Er ging frei mit ihnen um, erklärt sie jedoch geometrisch wie folgt:

„Es wird eine rationale (Größe) sein, wenn wir zum Beispiel sagen 10, 12, 3%, 6%, etc., weil sein Wert ausgesprochen und quantitativ ausgedrückt wird. Was nicht rational ist, ist irrational und es ist unmöglich, seinen Wert quantitativ auszusprechen und darzustellen. Zum Beispiel: Die Wurzeln von Zahlen wie 10, 15, 20, die keine Quadrate sind, die Seiten von Zahlen, die keine Würfel sind usw.,“

Im Gegensatz zu Euklids Konzept der Größen als Linien betrachtete Al-Mahani Ganzzahlen und Brüche als rationale Größen und Quadratwurzeln und Würfelwurzeln als irrationale Größen. Er führte auch einen arithmetischen Ansatz für das Konzept der Irrationalität ein, da er irrationalen Größen Folgendes zuschreibt:

„ihre Summen oder Unterschiede oder Ergebnisse ihrer Addition zu einer rationalen Größe oder Ergebnisse der Subtraktion einer solchen Größe von einer irrationalen Größe oder einer rationalen Größe davon.,“

Der ägyptische Mathematiker Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (um 850 – 930) akzeptierte als erster irrationale Zahlen als Lösungen für quadratische Gleichungen oder als Koeffizienten in einer Gleichung, oft in Form von Quadratwurzeln, Würfelwurzeln und vierten Wurzeln. Jahrhundert lieferte der irakische Mathematiker Al-Hashimi allgemeine Beweise (anstatt geometrische Demonstrationen) für irrationale Zahlen, da er Multiplikation, Division und andere arithmetische Funktionen betrachtete., Iranische Mathematiker Abu Ja ‚ far al-Khāzin (900-971) liefert eine definition der rationalen und irrationalen Größen, die besagt, dass wenn eine bestimmte Anzahl ist:

„die in einer bestimmten Größenordnung gegeben, die einmal oder viele Male, dann dieser (bestimmten) Ausmaß entspricht eine rationale Zahl. . . . Jedes Mal, wenn diese (letztere) Größe eine Hälfte oder ein Drittel oder ein Viertel der gegebenen Größe (der Einheit) oder im Vergleich zu (der Einheit) drei, fünf oder drei Fünftel umfasst, ist es eine rationale Größe., Und im Allgemeinen ist jede Größe, die dieser Größe (d. H. Der Einheit) entspricht, als eine Zahl zur anderen rational. Wenn eine Größe jedoch nicht als Vielfaches, Teil (1/n) oder Teil (m/n) einer gegebenen Größe dargestellt werden kann, ist sie irrational, dh sie kann nicht anders als durch Wurzeln ausgedrückt werden.“

Viele dieser Konzepte wurden schließlich von europäischen Mathematikern irgendwann nach den lateinischen Übersetzungen des 12., Al-Hassār, ein marokkanischer Mathematiker aus der Fez, der sich im 12.Jahrhundert auf die islamische Erbrechtsprechung spezialisiert hat, erwähnt zuerst die Verwendung eines Bruchteils, bei dem Zähler und Nenner durch einen horizontalen Balken getrennt sind. In seiner Diskussion schreibt er:“… zum Beispiel, wenn Sie sagte zu schreiben drei-Fünftel und einem Drittel, ein Fünftel, schreiben Sie so, 3 1 5 3 {\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}} .“Diese gleiche Bruchnotation erscheint bald darauf in der Arbeit von Leonardo Fibonacci im 13.,

Moderne periodEdit

Im 17.Jahrhundert wurden imaginäre Zahlen zu einem mächtigen Werkzeug in den Händen Abrahams de Moivre und vor allem Leonhard Eulers. Jahrhundert führte zur Differenzierung von Irrationalen in algebraische und transzendentale Zahlen, zum Beweis der Existenz transzendentaler Zahlen und zum Wiederaufleben des wissenschaftlichen Studiums der Theorie der Irrationalen, das seit Euklid weitgehend ignoriert wurde., Das Jahr 1872 sah die Veröffentlichung der Theorien von Karl Weierstraß (von seinem Schüler Ernst Kossak), Eduard Heine (Crelle ‚ s Journal, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), und Richard Dedekind. Méray hatte 1869 den gleichen Ausgangspunkt genommen wie Heine, aber die Theorie bezieht sich allgemein auf das Jahr 1872. Weierstrass ‚ Methode wurde 1880 von Salvatore Pincherle vollständig dargelegt, und Dedekinds hat durch das spätere Werk des Autors (1888) und die Billigung durch Paul Tannery (1894) zusätzliche Bedeutung erhalten., Weierstraß, Cantor und Heine stützen Ihre Theorien auf unendlichen Reihen, während Dedekind gründet seine auf die Idee, einen Schnitt (Schnitt) in das system der ganzen rationalen zahlen, und trennt Sie in zwei Gruppen mit bestimmten charakteristischen Eigenschaften. Das Thema hat spätere Beiträge in den Händen von Weierstrass, Leopold Kronecker (Crelle, 101) und Charles Méray erhalten.,

Fortgesetzte Brüche, die eng mit irrationalen Zahlen zusammenhängen (und aufgrund von Cataldi, 1613), erhielten Aufmerksamkeit durch Euler und wurden bei der Eröffnung des 19. Dirichlet fügte auch der allgemeinen Theorie hinzu, ebenso wie zahlreiche Beiträge zu den Anwendungen des Fachs.

Johann Heinrich Lambert bewies (1761), dass π nicht rational sein kann und dass en irrational ist, wenn n rational ist (es sei denn, n = 0)., Während Lamberts Beweis oft als unvollständig bezeichnet wird, unterstützen moderne Bewertungen ihn als zufriedenstellend und sind für seine Zeit ungewöhnlich streng. Adrien-Marie Legendre (1794) lieferte nach der Einführung der Bessel–Clifford-Funktion einen Beweis dafür, dass π2 irrational ist, woraus sofort folgt, dass π auch irrational ist. Die Existenz transzendentaler Zahlen wurde erstmals von Liouville (1844, 1851) gegründet. Später bewies Georg Cantor (1873) seine Existenz mit einer anderen Methode, die zeigte, dass jedes Intervall im Wirklichen transzendentale Zahlen enthält., Charles Hermite (1873) erwies sich zunächst als transzendent, und Ferdinand von Lindemann (1882) zeigte ausgehend von Hermites Schlussfolgerungen dasselbe für ihn. Lindemanns Beweis wurde von Weierstrass (1885), David Hilbert (1893) noch weiter vereinfacht und schließlich von Adolf Hurwitz und Paul Gordan grundlegend gemacht.