Come sopra, il prezzo equo di una “straight bond” (un’obbligazione senza opzioni incorporate; vedi Bond (finance)# Features) è solitamente determinato attualizzando i flussi di cassa attesi al tasso di sconto appropriato. La formula comunemente applicata viene discussa inizialmente. Sebbene questa relazione sul valore attuale rifletta l’approccio teorico per determinare il valore di un’obbligazione, in pratica il suo prezzo è (di solito) determinato con riferimento ad altri strumenti più liquidi. I due approcci principali qui, prezzi relativi e prezzi senza arbitraggio, sono discussi di seguito., Infine, quando è importante riconoscere che i tassi di interesse futuri sono incerti e che il tasso di sconto non è adeguatamente rappresentato da un unico numero fisso—ad esempio quando un’opzione è scritta sull’obbligazione in questione—si può ricorrere a calcoli stocastici.
Approccio al valore presenteEdit
Di seguito è riportata la formula per il calcolo del prezzo di un’obbligazione, che utilizza la formula di base del valore attuale (PV) per un determinato tasso di sconto:questa formula presuppone che sia stato appena effettuato un pagamento coupon; vedi sotto per le rettifiche su altre date.
P = (C 1 + i + C (1 + i ) 2+. . ., + C ( 1 + i ) N ) + M ( 1 + i ) N = ( ∑ n = 1 N C ( 1 + i ) n ) + M ( 1 + i ) N = C ( 1 − ( 1 + i ) − N ) + M ( 1 + i ) − N {\displaystyle {\begin{aligned}P&={\begin{matrix}\left({\frac {C}{1+i}}+{\frac {C}{(1+i)^{2}}}+…,)+{\frac {M}{(1+i)^{N}}}\end{matrix}}\\&={\begin{matrix}\left(\sum _{n=1}^{N}{\frac {C}{(1+i)^{n}}}\right)+{\frac {M}{(1+i)^{N}}}\end{matrix}}\\&={\begin{matrix}C\left({\frac {1-(1+i)^{-N}}{i}}\right)+M(1+i)^{-N}\end{matrix}}\end{aligned}}} dove: F = valore nominale se = tasso di interesse contrattuale C = F * se = cedola (cedola) N = numero dei pagamenti i = tasso di interesse di mercato, o richiesta di resa, o osservati / appropriato rendimento a scadenza (vedi sotto) M = valore a scadenza, di solito è uguale valore nominale P = prezzo di mercato delle obbligazioni.,
Approccio relativo al prezzomodifica
In base a questo approccio—un’estensione o applicazione di quanto sopra—l’obbligazione avrà un prezzo relativo a un benchmark, di solito un titolo governativo; vedere Valutazione relativa. Qui, il rendimento a scadenza dell’obbligazione è determinato in base al rating del credito dell’obbligazione rispetto a un titolo di stato con scadenza o durata simili; vedi Spread creditizio (bond)., Migliore è la qualità dell’obbligazione, minore è lo spread tra il rendimento richiesto e l’YTM del benchmark. Questo rendimento richiesto viene quindi utilizzato per scontare i flussi di cassa obbligazionari, sostituendo i {\displaystyle i} nella formula sopra, per ottenere il prezzo.,
Approccio al pricing senza arbitraggiomodifica
A differenza dei due approcci correlati di cui sopra, un’obbligazione può essere considerata come un “pacchetto di flussi di cassa”-cedola o faccia—con ogni flusso di cassa visto come uno strumento zero—coupon in scadenza alla data in cui sarà ricevuto. Pertanto, piuttosto che utilizzare un singolo tasso di sconto, si dovrebbero utilizzare più tassi di sconto, attualizzando ciascun flusso di cassa al proprio tasso., In questo caso, ciascun flusso di cassa è attualizzato separatamente allo stesso tasso di un’obbligazione zero-coupon corrispondente alla data della cedola e di credito equivalente (se possibile, dallo stesso emittente dell’obbligazione valutata o, in caso contrario, con l’appropriato spread di credito).
Secondo questo approccio, il prezzo dell’obbligazione dovrebbe riflettere il suo prezzo “privo di arbitraggio”, poiché qualsiasi deviazione da questo prezzo verrà sfruttata e l’obbligazione verrà rapidamente ripagata al suo livello corretto. Qui, applichiamo la logica razionale dei prezzi relativa alle “Attività con flussi di cassa identici”., In dettaglio: (1) le date e gli importi delle cedole dell’obbligazione sono noti con certezza. Pertanto, (2) alcuni multipli (o frazioni) di obbligazioni zero-coupon, ciascuna corrispondente alle date della cedola del bond, possono essere specificati in modo da produrre flussi di cassa identici al bond. Pertanto (3) il prezzo dell’obbligazione oggi deve essere pari alla somma di ciascuno dei suoi flussi di cassa attualizzati al tasso di sconto implicito dal valore della ZCB corrispondente., Se questo non fosse il caso, (4) l’arbitraggio potrebbe finanziare il suo acquisto di qualsiasi del legame o la somma dei vari ZCBs era più conveniente, vendendo allo scoperto l’altro, e soddisfare i suoi impegni di flusso di cassa utilizzando le cedole o zeri in scadenza a seconda dei casi. Poi (5) il suo “risk free”, profitto arbitraggio sarebbe la differenza tra i due valori. Vedi sotto Rational Pricing # Titoli a reddito fisso.,
Approccio al calcolo stocasticomodifica
Quando si modellano un’opzione obbligazionaria, o altri derivati su tassi di interesse (IRD), è importante riconoscere che i tassi di interesse futuri sono incerti, e quindi, il tasso di sconto di cui sopra, in tutti e tre i casi—vale a dire se per tutte le cedole o per ogni singola cedola—non è adeguatamente rappresentato da un numero fisso(deterministico). In questi casi, viene impiegato il calcolo stocastico.
La soluzione al PDE — cioè la formula corrispondente per il valore del legame) – data in Cox et al., – is:
P = E t where {\displaystyle P=E_{t}^{\ast}}
dove E t where {\displaystyle E_{t}^{\ast }} è l’aspettativa rispetto alle probabilità neutre al rischio, e R ( t , T ) {\displaystyle R(t,T)} è una variabile casuale che rappresenta il tasso di sconto; vedi anche Prezzi Martingale.
Per determinare effettivamente il prezzo dell’obbligazione, l’analista deve scegliere lo specifico modello di tasso breve da utilizzare. Gli approcci comunemente utilizzati sono:
- il modello CIR
- il modello Black–Derman–Toy
- il modello Hull-White
- il framework HJM
- il modello Chen.,
Si noti che, a seconda del modello selezionato, potrebbe non essere disponibile una soluzione in forma chiusa (“Black like”) e viene quindi utilizzata un’implementazione basata su reticolo o simulazione del modello in questione. Vedi anche Opzione obbligazionaria § Valutazione.