Mathematisch können wir das Gesetz der Ladungserhaltung als Kontinuitätsgleichung angeben:
∂ Q ∂ t = Q I N (t) – Q O U T ( t). {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial t}}={\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t).}
Die integrierte Kontinuität Gleichung zwischen zwei Zeit Werten liest:
Q ( t 2 ) = Q ( t 1 ) + ∫ t 1 t 2 ( Q I N ( t ) − Q O U T ( t ) ) d t . {\displaystyle F(t_{2})=F(t_{1})+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)\right)\,\mathrm {d} t.,}
Die Allgemeine Lösung ergibt sich durch die Festsetzung der Ausgangszustand Zeitpunkt t 0 {\displaystyle t_{0}} , die zu den führenden integralen Gleichung:
Q ( t ) = Q ( t 0 ) + ∫ t 0 t ( F I N ( τ ) − Q O U T ( τ ) ) d τ . {\displaystyle Q(t)=F(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {IM}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau ., ) ) d τ = 0 ∀ t > t 0 ⟹ F I N ( t ) = Q O U T ( t ) ∀ t > t 0 {\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {IM}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau =0\;\;\forall t>t_{0}\;\impliziert \;{\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)={\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)\;\;\forall t>t_{0}}
In der elektromagnetischen Feldtheorie, Vektorrechnung verwendet werden kann, um den Ausdruck des Gesetzes in Bezug auf die Ladungsdichte ρ (in Coulomb pro Kubikmeter) und der elektrischen Stromdichte J (in Ampere pro Quadratmeter)., Dies wird als Ladungsdichte-Kontinuitätsgleichung
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0 bezeichnet. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \vec {J} =0.}
Der Begriff links ist die Änderungsrate der Ladungsdichte ρ an einem Punkt. Der Begriff rechts ist die Divergenz der Stromdichte J am selben Punkt. Die Gleichung setzt diese beiden Faktoren gleich, was besagt, dass sich die Ladungsdichte an einem Punkt nur ändern kann, wenn ein Ladungsstrom in den Punkt fließt oder aus ihm herausfließt. Diese Aussage entspricht einer Erhaltung von vier Strom.,
Mathematische ableitungsEdit
Der Nettostrom in ein Volumen ist
I = − ∬ S J ⋅ d S {\displaystyle I=-\iint \limits _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S} }
wobei S = ∂V die Grenze von V ist, die durch nach außen zeigende Normen ausgerichtet ist, und dS ist eine Abkürzung für NdS, die nach außen zeigende Normalität der Grenze ∂V. Hier ist J die Stromdichte (Ladung pro Flächeneinheit pro Zeiteinheit) an der Oberfläche des Volumens. Der Vektor zeigt in Richtung des Stroms.,
Aus dem Divergenzsatz kann dies geschrieben werden
I = – ∭ V (∇⋅J ) d V {\displaystyle I=-\iiint \limits _{V}\left (\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV}
Die Ladungserhaltung erfordert, dass der Nettostrom in ein Volumen notwendigerweise der Nettoänderung der Ladung innerhalb des Volumens entsprechen muss.,
d q d t = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) d V ( 1 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=-\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \vec {J} \right)dV\qquad \qquad (1)}
Die Gesamtladung q im Volumen V ist das integral (Summe) von der Ladungsdichte in V
q = ∭ V ρ d V {\displaystyle q=\iiint \limits _{V}\rho dV}
So von der Leibniz integral rule
d q d t = ∭ V ∂ ρ ∂ t d V ( 2 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=\iiint \limits _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}dV\qquad \qquad \qquad \quad (2)}
die Gleichsetzung von (1) und (2) gibt
0 = ∭ V ( ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J ) d V ., {\displaystyle 0=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \vec {J} \right)dV.}
Da dies für jedes Volumen gilt, haben wir im Allgemeinen
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \vec {J} =0.}