Gamle GreeceEdit
Det første bevis for eksistensen av irrasjonelle tall er vanligvis knyttet til en Pytagoreisk (muligens Hippasus av Metapontum), som sannsynligvis oppdaget dem mens du identifisere sider av pentagram.Den daværende Pytagoreisk metode ville ha hevdet at det må være en tilstrekkelig liten, udelelig enhet som kan passe jevnt inn i en av disse lengder, så vel som de andre., Imidlertid, Hippasus, i det 5. århundre F.KR., var i stand til å utlede at det var faktisk ingen felles måleenhet, og at påstanden om en slik eksistens var i realiteten en selvmotsigelse. Han gjorde dette ved å vise at hvis hypotenuse av en likebent høyre trekant var faktisk commensurable med et ben, er en av de lengder målt i at måleenhet må både odd og even, som er umulig. Hans resonnement er som følger:
- Start med en likebent høyre trekant med side lengder av heltall a, b, og c. Forholdet mellom hypotenuse til en etappe er representert ved c:b.,
- Anta at a, b, og c er i den minste mulige betingelser (dvs. at de ikke har noen felles faktorer).
- Ved Pytagoreisk teorem: c2 = a2+b2 = b2+b2 = 2b2. (Siden trekanten er likebent, a = b).
- Siden c2 = 2b2, c2 er delelig med 2, og derfor selv.
- Siden c2 er enda, c må være selv.
- Siden c er selv, dele c ved 2 gir et heltall. La y være denne heltall (c = 2y).
- Kvadrere begge sider av c = 2y gir c2 = (2y)2 eller c2 = 4y2.
- Erstatter 4y2 for c2 i den første ligningen (c2 = 2b2) gir oss 4y2= 2b2.,
- å Dele med 2 gir 2y2 = b2.
- Siden y er et heltall, og 2y2 = b2, b2, som er delelig med 2, og derfor selv.
- Siden b2 er enda, b må være selv.
- Vi har nettopp vist at både b og c må være selv. Derav de har en felles faktor på 2. Men dette motsier den forutsetning at de ikke har noen felles faktorer. Dette avviket viser seg at c og b kan ikke både være heltall, og dermed eksistensen av et tall som ikke kan uttrykkes som et forhold mellom to heltall.,
greske matematikere betegnet dette forholdet uforenlige størrelsene alogos, eller ubeskrivelige. Hippasus, men ble ikke hyllet for sin innsats: i følge en legende, han gjorde sin oppdagelse mens de er ute på sjøen, og ble senere kastet over bord av hans andre Pythagoreans «…for å ha produsert et element i universet som nektet…læren om at alle fenomener i universet kan bli redusert til hele tall og deres forhold.»En annen legende sier at Hippasus bare ble forvist for denne åpenbaringen., Uansett konsekvens å Hippasus seg selv, sin oppdagelse utgjorde en svært alvorlig problem å Pytagoreisk matematikk, siden det knuste den forutsetning at tall og geometri var uatskillelige–et fundament for deres teori.
oppdagelsen av uforenlige forholdstall var en indikasjon på et annet problem som vender mot Grekerne: forholdet av den diskrete å kontinuerlig. Dette var brakt i lys av Zeno av Elea, som stilte spørsmålstegn ved den oppfatning at mengder er diskret og består av et begrenset antall enheter av en gitt størrelse., Tidligere greske oppfatninger dikterte at de nødvendigvis må være, for «hele tall representerer diskret objekter, og en commensurable forholdet representerer en relasjon mellom to samlinger av diskrete objekter», men Zeno funnet ut at det faktisk er » generelt er ikke diskret samlinger av enheter; dette er grunnen til prosenter av uforenlige vises….uantities er, med andre ord, kontinuerlig.»Hva dette betyr er at, i motsetning til populær oppfatning av tid, det kan ikke være en udelelig, minste måleenhet for noen mengde. Det er faktisk disse divisjoner av kvantitet må nødvendigvis være uendelig., For eksempel, tenk deg en linje segment: dette segmentet kan deles i to, halvparten delt i to, halvparten av halvparten i to, og så videre. Denne prosessen kan fortsette uendelig, for det er alltid en halv til å bli delt. Jo flere ganger segmentet er halvert, nærmere måleenhet kommer til null, men det har aldri når nøyaktig null. Dette er akkurat hva Zeno forsøkte å bevise. Han forsøkte å bevise dette ved å formulere fire paradokser, som viste at de motsetninger som ligger i den matematiske tenkte på den tiden., Mens Zeno er paradokser nøyaktig vist manglene i dagens matematiske forestillinger, ble de ikke betraktet som bevis for det alternative. I hodet av Grekerne, motbevise gyldigheten av ett syn ikke nødvendigvis bevise gyldigheten av en annen, og derfor ytterligere etterforskning måtte oppstå.
Den neste skritt ble tatt av Eudoxus av Cnidus, som er formalisert en ny teori om andelen som tok hensyn til commensurable så vel som uforenlige mengder. Sentralt i hans idé var skillet mellom størrelse og antall. Omfang «…,var ikke et nummer, men sto for enheter som linjesegmenter, vinkler, arealer, volumer, og tid som kan variere, som vi ville si, kontinuerlig. Størrelsene var motsetning til tall, som hoppet fra en verdi til en annen, fra 4 til 5.»Tallene er sammensatt av noen minste, udelelig enhet, mens størrelsene er uendelig kan reduseres. Fordi ingen kvantitative verdier som ble utpekt til å storleikar, Eudoxus var da i stand til å redegjøre for både commensurable og uforenlige forholdstall ved å definere et forhold i form av dens omfang, og andelen som en likhet mellom to forhold., Ved å ta kvantitative verdier (tall) ut av ligningen, han unngikk fellen av å ha for å uttrykke en irrasjonell nummer som et tall. «Eudoxus’ teori aktivert den greske matematikere til å gjøre enorm fremgang i geometri ved å fremskaffe nødvendige logiske grunnlaget for uforenlige forholdstall.»Dette incommensurability er behandlet i Euklids Elementer, Bok X, Forslag 9.
Som et resultat av skillet mellom antall og størrelse, geometri ble den eneste metoden som kan ta hensyn uforenlige forholdstall., På grunn av tidligere numeriske grunnlaget fortsatt var uforenlig med begrepet incommensurability, gresk skiftet fokus bort fra de numeriske oppfatninger, for eksempel algebra og fokusert nesten utelukkende på geometri. Faktisk, i mange tilfeller algebraiske oppfatninger ble reformulert i geometriske begreper. Dette kan redegjøre for hvorfor vi fortsatt tenke seg at x2 og x3 som x-squared og x cubed i stedet for x til andre kraft-og x til tredje kraft., Også avgjørende for å Zeno arbeid med uforenlige størrelsene var den grunnleggende fokus på deduksjon som resulterte fra det grunnleggende knuste av tidligere gresk matematikk. Erkjennelsen av at noen grunnleggende begrep innenfor den eksisterende teorien var på kant med virkeligheten krevde en fullstendig og grundig etterforskning av aksiomer og forutsetninger som ligger til grunn for denne teorien. Ut av dette behovet, Eudoxus utviklet sin metode for utmattelse, en slags reductio ad absurdum som «…opprettet den deduktive organisasjon på grunnlag av eksplisitte aksiomene…»så vel som «…,forsterket den tidligere beslutningen om å stole på deduksjon for bevis.»Denne metoden utmattelse er første trinn i etablering av kalkulus.
Theodorus av Kyrene viste irrationality av surds av hele tall opp til 17, men stoppet det sannsynligvis fordi algebra han brukte ikke kunne anvendes til kvadratroten av 17.
Det var ikke før Eudoxus utviklet en teori om andelen som tok hensyn til irrasjonelle samt rasjonell forholdstall som en sterk matematiske grunnlaget for irrasjonelle tall ble opprettet.,
IndiaEdit
Geometriske og matematiske problemer som involverer irrasjonelle tall som kvadratrøtter ble behandlet svært tidlig i den Vediske periode i India. Det er referanser til slike beregninger i Samhitas, Brahmanas, og Shulba Sutraene (800 F.KR eller tidligere). (Se Bag, Indian Journal of History of Science, 25(1-4), 1990).
Det er foreslått at begrepet irrationality var implisitt akseptert av Indiske matematikere siden det 7. århundre F.KR., da Manava (c., 750 – 690 F.KR.) mente at kvadratrøtter av tall slik som 2 og 61 kan ikke være nøyaktig bestemt. Men historikeren Carl Benjamin Boyer skriver at «slike krav er ikke godt begrunnet og usannsynlig å være sant».
Det er også foreslått at Aryabhata (5. århundre E.KR.), til å beregne en verdi av pi til 5 signifikante tall, brukes ordet āsanna (nærmer), til å bety at det ikke bare er dette en tilnærming, men at verdien er uforenlige (eller irrasjonelle).,
Senere, i sine avhandlinger, Indiske matematikere skrev på den aritmetiske av surds inkluderer addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, rasjonalisering, samt separasjon og utvinning av kvadratrøtter.
Matematikere som Brahmagupta (i 628 AD) og Bhāskara jeg (i 629 AD) laget bidrag i dette området som gjorde andre matematikere som fulgte. I det 12. århundre Bhāskara II vurdert noen av disse formlene og kritiserte dem, å identifisere sine begrensninger.,
i Løpet av det 14. til det 16. århundre, Madhava av Sangamagrama og Kerala skolen i astronomi og matematikk oppdaget uendelig serien for flere irrasjonelle tall som π og visse irrasjonelle verdier av trigonometriske funksjoner. Jyeṣṭhadeva gitt bevis for disse uendelig serien i Yuktibhāṣā.
Midten AgesEdit
I middelalderen, utvikling av algebra av Muslimske matematikere tillatt irrasjonelle tall å bli behandlet som algebraiske objekter., Midtøsten matematikere også slått sammen begrepene «antall» og «omfang» til et mer generelt inntrykk av reelle tall, kritisert Euklids idé av forholdstall, utviklet teorien om kompositt forholdstall, og utvidet begrepet til antall prosenter av kontinuerlig størrelse. I sin kommentar på Bok 10 av Elementene, den persiske matematikeren Al-Mahani (d. 874/884) undersøkt og klassifisert kvadratisk irrationals og kubikk irrationals. Han følger definisjoner for rasjonell og irrasjonell storleikar, som han behandlet som irrasjonelle tall., Han jobbet med dem fritt, men forklarer dem i geometrisk form som følger:
«Det vil være en rasjonell (omfanget) når vi, for eksempel, si 10, 12, 3%, 6%, etc. fordi verdien er markert og uttrykt kvantitativt. Det er ikke rasjonelle er irrasjonelle, og det er umulig å uttale, og representerer verdien kvantitativt. For eksempel: røttene av tall, for eksempel 10, 15, 20 som ikke torg, sidene av tall som ikke kuber etc.,»
I motsetning til Euclid ‘ s begrep av storleikar som linjer, Al-Mahani ansett som heltall og fraksjoner som rasjonell storleikar, og kvadratrøtter og kuben røtter som irrasjonelle storleikar. Han introduserte også en aritmetiske tilnærming til begrepet irrationality, som han tillegger følgende irrasjonell størrelsene:
«deres summer eller forskjeller, eller resultatene av deres tillegg til en rasjonell størrelsesorden, eller resultater av å trekke en størrelsesorden av denne typen fra en irrasjonell en, eller av et rasjonelt omfang fra det.,»
Den Egyptiske matematiker Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850 – 930) var den første til å godta irrasjonelle tall som løsninger for å kvadratiske ligninger eller som koeffisienter i en ligning, ofte i form av kvadratiske røtter, kube røtter og fjerde røtter. I det 10. århundre, den Irakiske matematikeren Al-Hashimi gitt generelle bevis (i stedet for geometrisk demonstrasjoner) for irrasjonelle tall, som han betraktet som multiplikasjon, divisjon, og andre aritmetiske funksjoner., Iranske matematiker, Abū Ja ‘ al-Khāzin (900-971) gir en definisjon av rasjonelle og irrasjonelle storleikar, som sier at hvis en bestemt mengde er:
«som det står i en viss gitt størrelsesorden én gang eller flere ganger, så er dette (gitt) omfang tilsvarer en rasjonell antall. . . . Hver gang når denne (siste) omfang består av en halv, eller en tredjedel eller en fjerdedel av gitt størrelse (på apparatet), eller, sammenlignet med (enhet), består av tre, fem, eller tre femne, det er et rasjonelt omfang., Og, generelt, hver størrelsesorden som tilsvarer denne størrelsesorden (dvs. til unit), som er ett nummer til en annen, er rasjonell. Hvis, imidlertid, en størrelsesorden kan ikke være representert som en av flere, en del (1/n), eller deler (m/n) av en gitt størrelse, det er irrasjonelle, dvs. den kan ikke uttrykkes på andre måter enn ved hjelp av røtter.»
Mange av disse konseptene ble etter hvert akseptert av Eu-matematikere en stund etter det latinske oversettelser av det 12. århundre., Al-Hassār, en Marokkansk matematiker fra Fez, som spesialiserer seg i Islamske arv praksis i løpet av det 12. århundre, først nevner bruk av en brøk bar, hvor numerators og denominators er atskilt med en horisontal bar. I sin diskusjon, skriver han, «… for eksempel, hvis du blir bedt om å skrive tre femtedeler og en tredjedel av en femte, skrive dermed 3 1 5 3 {\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}} .»Denne samme brøk notasjon vises kort tid etter i verk av Leonardo Fibonacci i det 13. århundre.,
Moderne periodEdit
Det 17. århundre var det imaginære tallene blir et kraftig verktøy i hendene på Abraham de Moivre, og spesielt av Leonhard Euler. Ferdigstillelse av teorien for komplekse tall i det 19. århundre innebar differensiering av irrationals til algebraiske og opphøyde tall, bevis for eksistensen av opphøyde tall, og oppblomstring av det vitenskapelige studiet av teorien om irrationals, i stor grad ignorert siden Euclid., Året 1872 så publisering av teoriene til Karl weierstrass teorem (av hans elev Ernst Kossak), Eduard Heine (Crelle Journal, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), og Richard Dedekind. Méray hadde tatt i 1869 samme utgangspunkt som Heine, men teorien er vanligvis referert til år 1872. Weierstrass teorem er metoden har blitt helt satt ut av Salvatore Pincherle i 1880, og Dedekind har fått ekstra oppmerksomhet gjennom forfatterens senere arbeid (1888) og godkjennelse av Paul Tannery (1894)., Weierstrass teorem, Cantor, og Heine baserer sine teorier på uendelig serien, mens Dedekind founds hans på ideen om et kutt (Schnitt) i systemet av alle rasjonale tall, og som deler dem inn i to grupper har visse karakteristiske egenskaper. Emnet har mottatt senere bidrag i hendene på weierstrass teorem, Leopold Kronecker (Crelle, 101), og Charles Méray.,
Fortsatte fraksjoner, som er nært knyttet til irrasjonelle tall (og på grunn av Cataldi, 1613), fått oppmerksomhet i hendene på Euler, og ved åpningen av det 19. århundre ble brakt inn fremtredende gjennom skriftene til Joseph-Louis Lagrange. Dirichlet også lagt til generell teori, som har en rekke bidragsytere til anvendelser av faget.
Johann Heinrich Lambert viste seg (1761) som π ikke kan være rasjonelle, og som no er irrasjonelle hvis n er rasjonell (hvis n = 0)., Mens Lambert er bevis kalles ofte ufullstendig, moderne vurderinger støtte det som tilfredsstillende, og faktisk for sin tid det er uvanlig streng. Adrien-Marie Legendre (1794), etter å ha innført Bessel–Clifford funksjon, forutsatt et bevis for å vise at π2 er irrasjonelle, hvorfra det følger umiddelbart at π er irrasjonelle også. Eksistensen av opphøyde tall ble først etablert av Liouville (1844, 1851). Senere, Georg Cantor (1873) bevist sin eksistens ved en annen metode, som viste at hver intervall i reals inneholder opphøyde tall., Charles Hermite (1873) første beviste e opphøyet, og Ferdinand von Lindemann (1882), som starter fra Hermite konklusjoner, viste den samme for π. Lindemann er bevis var mye forenklet ved weierstrass teorem (1885), fortsatt videre av David Hilbert (1893), og ble til slutt gjort elementære av Adolf Hurwitz og Paul Gordan.