Matematisk, vi kan staten loven kostnad for bevaring som en kontinuitet ligningen:
∂ Q ∂ t = Q i N ( t ) − Q O U T ( t ) . {\displaystyle {\frac {\delvis Q}{\partial t}}={\dot {Q}}_{\rm {I}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t).}
Den integrerte kontinuitet ligning mellom to verdier lyder:
Q ( t 2 ) = Q ( t-1 ) + ∫ t 1 t 2 ( Q i N ( t ) − Q O U T ( t ) ) d t . {\displaystyle Q(t_{2})=Q(t_{1})+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\dot {Q}}_{\rm {I}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)\right)\,\mathrm {d} t.,}
Den generelle løsningen er oppnådd ved å feste den opprinnelige tilstanden tid t 0 {\displaystyle t_{0}} , som fører til integrert ligningen:
Q ( t ) = Q ( t 0 ) + ∫ t 0 t ( Q i N ( τ ) − Q O U T ( τ ) ) d τ . {\displaystyle Q(t)=Q(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {I}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau ., ) ) d τ = 0 ∀ t > t 0 ⟹ Q i N ( t ) = Q O U T ( t ) ∀ t > t 0 {\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {I}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau =0\;\;\forall t>t_{0}\;\innebærer \;{\dot {Q}}_{\rm {I}}(t)={\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)\;\;\forall t>t_{0}}
I elektromagnetisk felt teori, vektor-kalkulus kan brukes til å uttrykke loven i form av kostnad tetthet ρ (i coulombs per kubikkmeter) og elektrisk strøm tetthet J (i ampere per kvadratmeter)., Dette kalles lade tetthet kontinuitet ligningen
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0. {\displaystyle {\frac {\delvis \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}
begrepet på venstre side er frekvensen av endring i kostnad tetthet ρ på et punkt. Uttrykket på høyre side er det avvik mellom gjeldende tetthet J på samme punkt. Ligningen utgjør disse to faktorene, som sier at den eneste måten for å lade tetthet på et punkt for å endre er for en strøm av kostnad til å flyte inn i eller ut av punktet. Denne uttalelsen er ekvivalent til en bevaring av fire aktuelle.,
Matematiske derivationEdit
nettet gjeldende i et volum
jeg = − ∬ S J ⋅ d S {\displaystyle jeg=-\iint \grenser _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {R} }
hvor S = ∂V er grensen for V orientert ved ytre-peker normaler, og dS » er en forkortelse for NdS, den peker utover normal av grensen ∂V. Her J er den nåværende tetthet (kostnad per arealenhet per tidsenhet) på overflaten av volumet. Vektoren peker i retning av gjeldende.,
Fra Divergens teorem dette kan være skriftlig
jeg = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) d V {\displaystyle jeg=-\iiint \grenser _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV}
Kostnad bevaring krever at netto strøm til et volum, må nødvendigvis være lik netto endring i kostnad innenfor volumet.,
d q d t = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) d) V ( 1 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=-\iiint \grenser _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV\qquad \qquad (1)}
Den totale ladning q i volumet V er integrert (sum) av kostnad tetthet i V –
q = ∭ V ρ d V {\displaystyle q=\iiint \grenser _{V}\rho dV}Så, ved Leibniz integrert regel
d q d t = ∭ V ∂ ρ ∂ t d V ( 2 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=\iiint \grenser _{V}{\frac {\delvis \rho }{\partial t}}dV\qquad \qquad \qquad \quad (2)}
Likhetstegn (1) og (2) gir
0 = ∭ V ( ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J ) l V ., {\displaystyle 0=\iiint \grenser _{V}\left({\frac {\delvis \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV.}
Siden dette er sant for ethvert volum, vi har generelt
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0. {\displaystyle {\frac {\delvis \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}