starożytna Grecjaedit
pierwszy dowód na istnienie liczb irracjonalnych przypisuje się zwykle Pitagorejczykowi (prawdopodobnie Hippasowi z Metapontum), który prawdopodobnie odkrył je podczas identyfikacji boków pentagramu.Ówczesna metoda Pitagorejska twierdziłaby, że musi istnieć wystarczająco mała, niepodzielna jednostka, która mogłaby równomiernie zmieścić się w jednej z tych długości, a także w drugiej., Jednak Hippasus w V wieku p. n. e.był w stanie wywnioskować, że w rzeczywistości nie było wspólnej jednostki miary, a twierdzenie o takim istnieniu było w rzeczywistości sprzecznością. Zrobił to, wykazując, że jeśli przeciwprostokątna trójkąta równoramiennego jest rzeczywiście współmierna z nogą, to jedna z tych długości mierzonych w tej jednostce miary musi być zarówno nieparzysta, jak i parzysta, co jest niemożliwe. Jego rozumowanie jest następujące:
- zacznij od trójkąta równoramiennego o długości boków liczb całkowitych a, b I c. stosunek przeciwprostokątnej do nogi jest reprezentowany przez c:b.,
- Załóżmy, że a, b I c są w najmniejszych możliwych terminach (tzn. nie mają wspólnych czynników).
- według twierdzenia Pitagorasa: c2 = a2 + b2 = b2+b2 = 2B2. (Ponieważ trójkąt jest równoramienny, a = b).
- ponieważ c2 = 2b2, c2 jest podzielne przez 2, a zatem parzyste.
- ponieważ c2 jest parzyste, c musi być parzyste.
- ponieważ c jest parzyste, dzielenie c przez 2 daje liczbę całkowitą. Niech y będzie tą liczbą całkowitą (c = 2y).
- wyrównanie obu stron c = 2y daje c2 = (2Y)2 lub c2 = 4y2.
- Podstawienie 4y2 dla c2 w pierwszym równaniu (c2 = 2B2) daje nam 4y2 = 2B2.,
- dzielenie przez 2 daje 2Y2 = b2.
- ponieważ y jest liczbą całkowitą, a 2y2 = b2, b2 jest podzielne przez 2, a zatem parzyste.
- ponieważ b2 jest parzyste, b musi być parzyste.
- właśnie pokazaliśmy, że zarówno b jak i c muszą być parzyste. Stąd mają wspólny czynnik 2. Jest to jednak sprzeczne z założeniem, że nie mają one wspólnych czynników. Ta sprzeczność dowodzi, że c i b nie mogą być liczbami całkowitymi, a zatem istnienie liczby, która nie może być wyrażona jako stosunek dwóch liczb całkowitych.,
greccy matematycy określali ten stosunek niewymiernej wielkości alogosa, czyli niewyrażalnej. Hippasus jednak nie był chwalony za swoje wysiłki: według jednej z legend, dokonał swojego odkrycia na morzu, a następnie został wyrzucony za burtę przez swoich kolegów pitagorejczyków ” … za wytworzenie elementu we wszechświecie, który zaprzeczył … doktrynie, że wszystkie zjawiska we wszechświecie mogą być zredukowane do liczb całkowitych i ich proporcji.”Inna legenda głosi, że Hippasus został jedynie wygnany za to objawienie., Niezależnie od konsekwencji dla samego Hippasa, jego odkrycie stanowiło bardzo poważny problem dla matematyki pitagorejskiej, ponieważ złamało założenie, że liczba i geometria są nierozłączne–fundament ich teorii.
odkrycie niewspółmiernych współczynników wskazywało na inny problem stojący przed Grekami: stosunek dyskretnego do ciągłego. Zostało to ujawnione przez Zeno z Elea, który zakwestionował koncepcję, że ilości są dyskretne i składają się ze skończonej liczby jednostek danej wielkości., Wcześniejsze Greckie koncepcje nakazywały, że muszą one być, ponieważ „liczby całkowite reprezentują obiekty dyskretne, a stosunek komensulatywny reprezentuje relację między dwoma zbiorami obiektów dyskretnych”, ale Zeno stwierdził , że w rzeczywistości ” ogólnie nie są dyskretnymi zbiorami jednostek; dlatego pojawiają się współczynniki niepomyślności….uantity są, innymi słowy, ciągłe.”Oznacza to, że w przeciwieństwie do popularnej koncepcji czasu, nie może istnieć niepodzielna, najmniejsza jednostka miary dla jakiejkolwiek ilości. Że w rzeczywistości te podziały ilości muszą być nieskończone., Na przykład rozważ segment linii: ten segment można podzielić na pół, ten pół podzielić na pół, połowę na pół i tak dalej. Proces ten może trwać w nieskończoność, ponieważ zawsze jest druga połowa do podziału. Im więcej razy segment jest o połowę mniejszy, tym bliżej jednostki miary dochodzi do zera, ale nigdy nie osiąga dokładnie zera. To właśnie chciał udowodnić Zeno. Starał się to udowodnić, formułując cztery paradoksy, które demonstrowały sprzeczności nieodłączne ówczesnej myśli matematycznej., Chociaż paradoksy Zeno dokładnie pokazywały braki obecnych koncepcji matematycznych, nie były one uważane za dowód alternatywy. W umysłach Greków obalenie ważności jednego poglądu niekoniecznie udowadniało Ważność innego, dlatego konieczne było dalsze dochodzenie.
następny krok został wykonany przez Eudoksosa z Cnidus, który sformalizował nową teorię proporcji, która uwzględniała zarówno wielkości współmierne, jak i niewspółmierne. Centralnym punktem jego koncepcji było rozróżnienie wielkości i liczby. Wielkość”…,nie było liczbą, ale oznaczało byty, takie jak segmenty linii, kąty, obszary, objętości i czas, które mogą się zmieniać, jak powiedzielibyśmy, w sposób ciągły. Magnitudy były przeciwne liczbom, które przeskakiwały z jednej wartości do drugiej, od 4 do 5.”Liczby składają się z jakiejś najmniejszej, niepodzielnej jednostki, podczas gdy wielkość jest nieskończenie redukcyjna. Ponieważ nie przypisano wartości ilościowych do wielkości, Eudoksus był wówczas w stanie uwzględnić zarówno współczynniki współmierne, jak i niewspółmierne, definiując stosunek pod względem jego wielkości, a proporcję jako równość między dwoma współczynnikami., Biorąc wartości ilościowe (liczby) z równania, uniknął pułapki konieczności wyrażania liczby irracjonalnej jako liczby. „Teoria Eudoksosa umożliwiła greckim matematykom dokonanie ogromnego postępu w geometrii, dostarczając niezbędnych podstaw logicznych dla niewspółmiernych współczynników.”Ta niewspółmierność jest omawiana w Elementach Euklidesa, Księga X, propozycja 9.
w wyniku rozróżnienia między liczbą a wielkością, geometria stała się jedyną metodą, która mogła uwzględniać nieproporcjonalne współczynniki., Ponieważ poprzednie podstawy liczbowe były nadal niezgodne z koncepcją niewspółmierności, grecka koncentracja odeszła od tych koncepcji liczbowych, takich jak algebra i skupiła się prawie wyłącznie na geometrii. W rzeczywistości w wielu przypadkach koncepcje algebraiczne zostały przeformułowane na terminy geometryczne. Może to tłumaczyć, dlaczego nadal wyobrażamy sobie x2 i x3 jako X do kwadratu i X w kostce zamiast x do drugiej mocy i X do trzeciej mocy., Również kluczowe znaczenie dla pracy Zeno z niewymierną wielkością było fundamentalne skupienie się na rozumowaniu dedukcyjnym, które wynikało z fundamentalnego rozbicia wcześniejszej Greckiej matematyki. Uświadomienie sobie, że niektóre podstawowe pojęcia w ramach istniejącej teorii są sprzeczne z rzeczywistością wymagało pełnego i dokładnego zbadania aksjomatów i założeń, które leżą u podstaw tej teorii. Z tej konieczności eudoksus rozwinął swoją metodę wyczerpania, rodzaj reductio ad absurdum, że”…ustalił organizację dedukcyjną na podstawie wyraźnych aksjomatów…”jak również „…,wzmocnił wcześniejszą decyzję polegania na dedukcyjnym rozumowaniu w celu udowodnienia.”Ta metoda wyczerpania jest pierwszym krokiem w tworzeniu rachunku.
Teodor z Cyreny udowodnił irracjonalność surdów liczb całkowitych do 17, ale zatrzymał się tam prawdopodobnie dlatego, że algebra, której użył, nie mogła być zastosowana do pierwiastka kwadratowego z 17.
dopiero Eudoksus opracował teorię proporcji, która uwzględniała zarówno irracjonalne, jak i racjonalne współczynniki, stworzył silny matematyczny fundament liczb irracjonalnych.,
IndiaEdit
problemy geometryczne i matematyczne dotyczące liczb nieracjonalnych, takich jak pierwiastki kwadratowe, zostały rozwiązane bardzo wcześnie w okresie wedyjskim w Indiach. Istnieją odniesienia do takich obliczeń w Samhitas, Brahmanas i Shulba Sutras (800 pne lub wcześniej). (Patrz Bag, Indian Journal of History of Science, 25(1-4), 1990).
sugeruje się, że pojęcie irracjonalności było niejawnie akceptowane przez indyjskich matematyków od VII wieku p. n. e., kiedy to Manava (ok., 750-690 p. n. e.) uważał, że pierwiastki kwadratowe liczb takich jak 2 i 61 nie mogą być dokładnie określone. Jednak historyk Carl Benjamin Boyer pisze, że „takie twierdzenia nie są dobrze uzasadnione i mało prawdopodobne, aby były prawdziwe”.
sugeruje się również, że Aryabhata (V wiek n. e.), obliczając wartość pi do 5 znaczących liczb, użył słowa āsanna (zbliżanie się), co oznacza, że nie tylko jest to przybliżenie, ale że wartość jest niewspółmierna (lub irracjonalna).,
później, w swoich traktatach, indyjscy matematycy pisali o arytmetyce surdów, w tym dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu, racjonalizacji, a także separacji i ekstrakcji pierwiastków kwadratowych.
Matematycy tacy jak Brahmagupta (w 628 r.n. e.) i Bhāskara I (w 629 r. n. e.) wnieśli wkład w tę dziedzinę, podobnie jak inni matematycy, którzy po niej przyszli. W XII wieku Bhāskara II oceniał niektóre z tych formuł i krytykował je, identyfikując ich ograniczenia.,
w XIV-XVI wieku Madhava z Sangamagrama i Kerala school of astronomy and mathematics odkryli szereg nieskończony dla kilku liczb nieracjonalnych, takich jak π i pewnych wartości nieracjonalnych funkcji trygonometrycznych. Jyeṣṭhadeva dostarczyła dowodów na istnienie tych nieskończonych szeregów w Juktibhāṣā.
Średniowieczeedytuj
w średniowieczu rozwój algebry przez matematyków muzułmańskich umożliwił traktowanie liczb irracjonalnych jako obiektów algebraicznych., Matematycy bliskowschodni również połączyli pojęcia ” liczba „i” wielkość ” w bardziej ogólną ideę liczb rzeczywistych, skrytykowali ideę współczynników Euklidesa, opracowali teorię współczynników złożonych i rozszerzyli pojęcie liczby do współczynników ciągłej wielkości. W swoim komentarzu do Księgi 10 elementów, perski matematyk Al-Mahani (zm. 874/884) zbadał i sklasyfikował kwadratowe irracjonały i sześcienne irracjonały. Przedstawił definicje wielkości racjonalnych i irracjonalnych, które traktował jako liczby irracjonalne., Zajmował się nimi swobodnie, ale wyjaśnia je w kategoriach geometrycznych w następujący sposób:
” będzie to wartość racjonalna (wielkość), gdy na przykład powiemy 10, 12, 3%, 6%, itd., ponieważ jego wartość jest wymawiana i wyrażana ilościowo. To, co nie jest racjonalne, jest irracjonalne i niemożliwe do wymówienia i ilościowego przedstawienia jego wartości. Na przykład: korzenie liczb takich jak 10, 15, 20, które nie są kwadratami, boki liczb, które nie są sześcianami itp.,w przeciwieństwie do euklidesowej koncepcji wielkości jako linii, al-Mahani uważał liczby całkowite i ułamki za wielkości racjonalne, a pierwiastki kwadratowe i sześciany za wielkości irracjonalne. Wprowadził również arytmetyczne podejście do pojęcia irracjonalności, ponieważ przypisuje irracjonalnym magnitudom następujące wartości:
„ich sumy lub różnice, lub wyniki ich dodania do racjonalnej wielkości, lub wyniki odejmowania tego rodzaju wielkości od irracjonalnej, lub racjonalnej wielkości od niej.,”
egipski matematyk Abū Kāmil shujā ibn Aslam (ok. 850 – 930) jako pierwszy zaakceptował irracjonalne liczby jako rozwiązania równań kwadratowych lub jako współczynniki w równaniu, często w postaci pierwiastków kwadratowych, sześcianów i czwartych korzeni. W X wieku iracki matematyk Al-Haszimi dostarczył ogólnych dowodów (a nie geometrycznych) dla liczb irracjonalnych, ponieważ rozważał mnożenie, dzielenie i inne funkcje arytmetyczne., Irański matematyk Abū Ja ' far al-Khāzin (900-971) podaje definicję wielkości racjonalnej i irracjonalnej, stwierdzając, że jeśli określona wielkość jest:
„zawarta w określonej wielkości raz lub wiele razy, to ta (dana) wielkość odpowiada liczbie racjonalnej. . . . Za każdym razem, gdy ta (ostatnia) wielkość składa się z połowy, trzeciej lub czwartej podanej wielkości (jednostki), lub w porównaniu z (jednostką), składa się z trzech, pięciu lub trzech piątych, jest to wartość racjonalna., Ogólnie rzecz biorąc, każda wielkość, która odpowiada tej wielkości (tj. jednostce), jako jedna Liczba do drugiej, jest racjonalna. Jeśli jednak wielkość nie może być reprezentowana jako wielokrotność, część (1 / n) lub części (M / n) O danej wielkości, jest irracjonalna, tzn. nie może być wyrażona inaczej niż za pomocą korzeni.”
wiele z tych pojęć zostało ostatecznie zaakceptowanych przez europejskich matematyków jakiś czas po łacińskich przekładach z XII wieku., Al-Hassār, marokański matematyk z Fezu, specjalizujący się w Islamskim orzecznictwie dziedziczenia w XII wieku, po raz pierwszy wspomina o użyciu ułamkowej belki, gdzie liczniki i mianowniki są oddzielone poziomą belką. W swojej dyskusji pisze:”… na przykład, jeśli masz napisać trzy piąte i jedną trzecią piątego, napisz tak, 3 1 5 3 {\displaystyle {\frac {3 \ quad 1} {5\quad 3}}}.”Ten sam zapis ułamkowy pojawia się wkrótce potem w dziele Leonarda Fibonacciego w XIII wieku.,
okres nowożytny
w XVII wieku liczby wyobrażone stały się potężnym narzędziem w rękach Abrahama de Moivre, a zwłaszcza Leonharda Eulera. Ukończenie teorii liczb zespolonych w XIX wieku wiązało się z różnicowaniem irracjonaliów na liczby algebraiczne i transcendentalne, dowodem na istnienie liczb transcendentalnych i odrodzeniem naukowego badania teorii irracjonaliów, w dużej mierze ignorowanej od czasów Euklidesa., W roku 1872 opublikowano teorie Karla Weierstrassa (autorstwa jego ucznia Ernsta Kossaka), Eduarda Heine ' a (czasopismo Crelle, 74), Georga Cantora (Annalen, 5) i Richarda Dedekinda. Méray przyjął w 1869 ten sam punkt wyjścia co Heine, ale teoria jest ogólnie określona na rok 1872. Metoda Weierstrassa została całkowicie przedstawiona przez Salvatore Pincherle 'a w 1880 roku, a Dedekinda zyskała dodatkowe znaczenie dzięki późniejszej pracy autora (1888) i poparciu Paula Garnery' ego (1894)., Weierstrass, Cantor i Heine opierają swoje teorie na nieskończonych szeregach, podczas gdy Dedekind opiera się na idei cięcia (Schnitta) w systemie wszystkich liczb wymiernych, dzieląc je na dwie grupy o pewnych charakterystycznych właściwościach. Obiekt otrzymał później wkład z rąk Weierstrassa, Leopolda Kroneckera (Crelle, 101) i Charlesa Méraya.,
kontynuowane ułamki, ściśle związane z liczbami irracjonalnymi (i ze względu na Cataldiego, 1613), zwróciły uwagę Eulera, a na początku XIX wieku zostały wyeksponowane przez pisma Josepha-Louisa Lagrange ' a. Dirichlet dodał również do ogólnej teorii, podobnie jak wielu autorów do zastosowań tego przedmiotu.
Johann Heinrich Lambert udowodnił (1761), że π nie może być racjonalne, a en jest irracjonalne, jeśli N jest racjonalne (chyba że n = 0)., Chociaż dowód Lamberta jest często nazywany niekompletnym, współczesne oceny potwierdzają go jako zadowalający i w rzeczywistości jak na swój czas jest niezwykle rygorystyczny. Adrien-Marie Legendre (1794), po wprowadzeniu funkcji Bessela-Clifforda, dostarczył dowodu na to,że π2 jest irracjonalne, skąd natychmiast wynika, że π jest irracjonalne również. Istnienie liczb transcendentalnych po raz pierwszy ustalił Liouville(1844, 1851). Później Georg Cantor (1873) udowodnił ich istnienie inną metodą, która pokazała, że każdy przedział liczb rzeczywistych zawiera liczby transcendentalne., Charles Hermite (1873) po raz pierwszy udowodnił e transcendentalny, a Ferdinand von Lindemann (1882), wychodząc z wniosków Hermite ' a, wykazał to samo dla π. Dowód Lindemanna został znacznie uproszczony przez Weierstrassa( 1885), jeszcze dalej przez Davida Hilberta (1893), a ostatecznie został uczyniony przez Adolfa Hurwitza i Paula Gordana.