przekroje

właściwości obszarów

Centroid

centroid kształtu reprezentuje punkt, wokół którego obszar przekroju jest równomiernie rozłożony. Jeśli obszar jest podwójnie symetryczny wokół dwóch osi ortogonalnych, centroid leży na przecięciu tych osi. Jeśli obszar jest symetryczny wokół tylko jednej osi, to centroid leży gdzieś wzdłuż tej osi (trzeba będzie obliczyć drugą współrzędną)., Jeśli dokładna lokalizacja centroidu nie może być określona przez Inspekcję, można ją obliczyć za pomocą:

gdzie da reprezentuje obszar nieskończenie małego elementu, a jest całkowitym obszarem Przekrój poprzeczny oraz X i Y są współrzędnymi elementu da w odniesieniu do interesującej go osi.,

centroidalne lokalizacje wspólnych przekrojów są dobrze udokumentowane, więc zazwyczaj nie jest konieczne obliczanie położenia za pomocą powyższych równań., w przypadku podstawowych kształtów, których centroidalne lokalizacje są znane w odniesieniu do pewnego punktu odniesienia,centroidalne położenie przekroju złożonego można obliczyć jako:

gdzie XC,i i YC, i to współrzędne prostokątne centroidalnego położenia i-tego odcinka względem punktu odniesienia, a AI to obszar i-tego odcinka.,

odległość Centroidalna

odległość centroidalna, c, jest odległością od centroidu przekroju poprzecznego do włókna skrajnego., Odległość centroidalna w kierunku Y dla przekroju prostokątnego jest pokazana na poniższym rysunku:

typowe zastosowania dla odległości centroidalnej obejmują:

• obliczanie maksymalnego naprężenia zginającego w przekroju
• obliczanie wartości pierwszego momentu powierzchni, Q, powyżej punkt w przekroju aby określić naprężenie ścinające w tym punkcie

pierwszy moment obszaru

pierwszy moment obszaru w odniesieniu do interesującej osi oblicza się jako:

QX = ∫ y da

QY = ∫ x da

gdzie QX jest pierwszym momentem o osi X i Qy jest pierwszym momentem o osi Y.,Jeśli obszar składa się ze zbioru podstawowych kształtów, których centroidalne lokalizacje są znane w odniesieniu do interesującej osi, to pierwszy moment obszaru złożonego można obliczyć jako:

zauważ, że pierwszy moment obszaru jest używany przy obliczaniu centroidu przekroju w odniesieniu do pewnego pochodzenia (jak omówiono wcześniej)., Pierwszy moment jest również używany przy obliczaniu wartości naprężeń ścinających w danym punkcie przekroju poprzecznego. W tym przypadku pierwszy moment jest obliczany dla obszaru, który stanowi mniejszą część przekroju poprzecznego, gdzie obszar jest ograniczony przez punkt zainteresowania i skrajne włókno (Góra lub dół) przekroju poprzecznego. Pierwszy moment jest obliczany wokół osi, która przechodzi przez centroid przekroju poprzecznego.,

na powyższym rysunku cieniowany niebieski obszar jest obszarem zainteresowania w całym przekroju.,nt tego obszaru w odniesieniu do osi x (która przechodzi przez centroid przekroju poprzecznego, punkt O na powyższym rysunku) oblicza się jako:

Jeśli znana jest centroidalna lokalizacja interesującego nas obszaru, to pierwszy moment obszar w odniesieniu do osi można obliczyć jako (patrz rysunek powyżej):

należy zauważyć, że pierwszy moment obszaru będzie dodatni lub ujemny w zależności od położenia położenia obszaru w odniesieniu do interesującej go osi., Dlatego pierwszy moment całego obszaru przekroju w stosunku do własnego centroida będzie równy zeru.

Moment bezwładności

drugi moment bezwładności, bardziej znany jako moment bezwładności, I, przekroju jest wskaźnikiem zdolności elementu konstrukcyjnego do wytrzymania zginania.,(Uwaga 1) Ix i Iy są momentami bezwładności odpowiednio dla osi x i y i są obliczane przez:

Ix = ∫ Y2 dA

IY = ∫ x2 dA

gdzie X i y są współrzędne elementu da w odniesieniu do interesującej go osi.

najczęściej momenty bezwładności oblicza się w odniesieniu do centroidu odcinka. W tym przypadku są one określane jako centroidalne momenty bezwładności i są oznaczone jako Icx dla bezwładności wokół osi x i Icy dla bezwładności wokół osi Y.,

momenty bezwładności wspólnych przekrojów są dobrze udokumentowane, więc zazwyczaj nie jest konieczne ich obliczanie za pomocą powyższych równań. Właściwości kilku wspólnych przekrojów są podane na końcu tej strony.

Jeśli przekrój składa się ze zbioru podstawowych kształtów, których centroidy są zbieżne, to moment bezwładności przekroju zespolonego jest po prostu sumą poszczególnych momentów bezwładności. Przykładem tego jest belka skrzynkowa, która składa się z dwóch prostokątnych sekcji, Jak pokazano poniżej., W tym przypadku sekcja zewnętrzna ma „pole dodatnie”, a sekcja wewnętrzna ma „pole ujemne”, więc złożony moment bezwładności jest odejmowaniem momentu bezwładności sekcji wewnętrznej od sekcji zewnętrznej.

w przypadku bardziej skomplikowanego przekroju zespolonego, w którym położenie centroidalne nie jest zbieżne, moment bezwładności można obliczyć za pomocą twierdzenia o osi równoległej.

ważne jest, aby nie mylić momentu bezwładności obszaru z masowym momentem bezwładności ciała stałego., Moment bezwładności powierzchni wskazuje na opór przekroju poprzecznego na zginanie, podczas gdy masowy moment bezwładności wskazuje na opór ciała na obrót.,

twierdzenie o osi równoległej

Jeśli znany jest moment bezwładności przekroju poprzecznego wokół osi centroidalnej, to twierdzenie o osi równoległej może być użyte do obliczenia momentu bezwładności wokół dowolnej osi równoległej:

gdzie Ic jest momentem bezwładności wokół osi centroidalnej, d jest odległością między osią centroidalną a osią równoległą, a jest obszarem przekroju poprzecznego.,

Jeśli przekrój składa się ze zbioru podstawowych kształtów, których centroidalne momenty bezwładności są znane wraz z odległościami centroidów do pewnego punktu odniesienia, to twierdzenie o osi równoległej może być wykorzystane do obliczenia momentu bezwładności złożonego przekroju.

na przykład belka dwuteowa może być przybliżona przez 3 prostokąty, jak pokazano poniżej. Ponieważ ta złożona sekcja jest symetryczna zarówno wokół osi x, jak i y, centroid sekcji może być umieszczony przez Inspekcję na przecięciu tych osi. Centroid znajduje się na początku, O, na rysunku.,

moment bezwładności sekcji zespolonej można obliczyć za pomocą twierdzenia o osi równoległej. Centroidalny moment bezwładności sekcji względem osi x, Icx, jest obliczany jako:

gdzie terminy Icx są momentami bezwładności poszczególnych sekcji wokół ich własnych centroidów w orientacji osi x, terminy d są odległościami poszczególnych centroidów sekcji do złożonego centroida sekcji, a terminy A są obszarami poszczególnych sekcji. Ponieważ centroid sekcji W I centroid sekcji zespolonej są zbieżne, d jest zerowe dla tej sekcji, a więc nie ma terminu Ad2.,

ważne jest, aby zwrócić uwagę na implikację twierdzenia o osi równoległej, że ponieważ pojedyncza sekcja przesuwa się dalej od centroidu sekcji kompozytowej, udział tej sekcji w momencie bezwładności sekcji kompozytowej wzrasta o współczynnik d2. Dlatego, jeśli celem jest zwiększenie momentu bezwładności odcinka wokół określonej osi, najskuteczniejsze jest zlokalizowanie obszaru tak daleko od tej osi, jak to tylko możliwe. To wyjaśnia kształt belki dwuteowej., Kołnierze są głównymi czynnikami wpływającymi na moment bezwładności, a Wstęga służy do oddzielania kołnierzy od osi zginania. Wstęga musi jednak zachować pewną grubość, aby uniknąć wyboczenia, a ponieważ Wstęga zajmuje znaczną część naprężeń ścinających w sekcji.

polarny Moment bezwładności

polarny moment bezwładności, I, przekroju poprzecznego jest wskaźnikiem odporności elementu konstrukcyjnego na skręcanie wokół osi prostopadłej do przekroju., Moment bezwładności biegunowej odcinka względem osi można obliczyć za pomocą:

gdzie X i y są współrzędnymi elementu dA w odniesieniu do interesującej osi, A r to odległość między elementem dA a interesującą osią.,

chociaż polarny moment bezwładności można obliczyć za pomocą powyższego równania, Zwykle wygodniej jest obliczyć go za pomocą twierdzenia o osi prostopadłej, które stwierdza, że polarny moment bezwładności obszaru jest sumą momentów bezwładności o dowolnych dwóch osiach ortogonalnych, które przechodzą przez oś zainteresowania:

najczęściej oś zainteresowania przechodzi przez oś zainteresowania.przez centroid przekroju poprzecznego.,

moduł przekroju

maksymalne naprężenie zginające w belce oblicza się jako σb = Mc / Ic, gdzie c to odległość od osi neutralnej do skrajnego włókna, ICI to centroidalny moment bezwładności, A M to moment zginający. Moduł przekroju łączy w sobie warunki c i Ic w równaniu naprężeń zginających:

wykorzystując moduł przekroju, naprężenie zginające oblicza się jako σb = M / S. użyteczność modułu przekroju polega na tym, że charakteryzuje on wytrzymałość na zginanie przekroju w jednym terminie., Pozwala to na optymalizację przekroju belki pod kątem odporności na zginanie przez zmaksymalizowanie pojedynczego parametru.

Promień wirowania

promień wirowania reprezentuje odległość od centroidu odcinka, na której cały obszar może być skoncentrowany bez wpływu na moment bezwładności.,>

A polar radius of gyration can also be calculated for problems involving torsion about a centroidal axis:

The rectangular radii of gyration can also be used to calculate the polar radius of gyration:

właściwości przekrojów wspólnych

Poniższa tabela przedstawia właściwości przekrojów wspólnych. Bardziej rozbudowane tabele można znaleźć w wymienionych referencjach.

właściwości obliczone w tabeli obejmują obszar, centroidalny moment bezwładności, moduł przekroju i promień wirowania.,

uwagi

Uwaga 1: ugięcie Belki

ugięcie belki pod zginaniem jest określone przez moment bezwładności przekroju poprzecznego, długość belki i moduł sprężystości materiału. Więcej szczegółów można znaleźć w tym omówieniu ugięcia wiązki.