matematycznie możemy przedstawić prawo zachowania ładunku jako równanie ciągłości:
∂ Q ∂ T = Q I n ( t ) − Q O U T ( T ) . {\displaystyle {\frac {\partial Q} {\partial t}}={\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)-{\dot {Q}}_{\RM {OUT}} (t).}
równanie ciągłości zespolonej między dwiema wartościami czasu brzmi:
Q (T 2) = Q (T 1 ) + ∫ T 1 T 2 (Q I n (t) – Q O U T (t ) ) d T . {\displaystyle Q (t_{2})=Q (T_{1}) + \ int _{t_{1}}^{t_{2}}\left ({\dot {Q}}_{\RM {IN}}(t)-{\dot {Q}}_{\RM {OUT}} (t) \ right)\,\mathrm {d} t.,{\displaystyle\t_ {0}}} ogólne rozwiązanie otrzymuje się przez ustalenie początkowego czasu warunkowego t 0 {\displaystyle T_ {0}}, co prowadzi do równania całkowego:
Q (t) = Q ( T 0) + ∫ T 0 T ( Q I n ( τ) − Q O U T (τ)) d τ . {\displaystyle Q (t)=Q(t_{0}) + \ int _{t_{0}}^{t} \ left ({\dot {Q}}_{\rm {IN}} (\tau)- {\dot {Q}}_{\RM {OUT}} (\tau)\right)\, \mathrm {d} \ tau ., ) ) D τ = 0 ∀ t > T 0 ⟹ Q I n ( t ) = Q O U T ( t ) ∀ T > T 0 {\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\RM {IN}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\RM {out}}(\Tau )\right)\,\mathrm {d} \Tau =0\;\;\forall t>T_{0}\;\implikuje \;{\dot {Q}}_{\RM {in}}(t)={\Dot {Q}}_{\RM {out}}(t)\;\forall t>T_{0}}
w teorii pola elektromagnetycznego rachunek wektorowy może być używany do wyrażenia prawa w kategoriach gęstości ładunku ρ (w kulombach na metr sześcienny) i gęstości prądu elektrycznego J (w amperach na metr kwadratowy)., Nazywa się to równaniem ciągłości gęstości ładunku
ρ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho} {\partial t}}+ \ nabla \ cdot \ mathbf {J} =0.}
termin po lewej to szybkość zmiany gęstości ładunku ρ w punkcie. Termin po prawej to rozbieżność gęstości prądu J w tym samym punkcie. Równanie zrównuje te dwa czynniki, które mówi, że jedynym sposobem dla gęstości ładunku w punkcie do zmiany jest dla prądu ładunku do przepływu do lub z punktu. Twierdzenie to jest równoznaczne z zachowaniem czteroprądowości.,
wyprowadzenie Matematyczneedytuj
prąd netto na objętość wynosi
I = − ∬ S J ⋅ d s {\displaystyle I=-\iint \limits _{s}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S} }
Gdzie S = V V jest granicą V zorientowaną przez normę skierowaną na zewnątrz, a DS jest skrótem dla NdS, normą skierowaną na zewnątrz granicy ∂V. tutaj J jest gęstością prądu (ładunkiem na jednostkowej powierzchni na jednostkę czasu) na powierzchni objętości. Wektor wskazuje kierunek prądu.,
z twierdzenia o dywergencji można to zapisać
I = − ∭ V (∇ ⋅J ) D V {\displaystyle i = – \iiint \ limits _ {v}\left(\nabla \cdot \mathbf {j} \right)DV}
Ochrona ładunku wymaga, aby prąd netto na woluminie był koniecznie równy zmianie ładunku netto w woluminie.,
d d d t = − ∭ w ( ∇ ⋅ K ) D w ( 1 ) {\właściwości styl wyświetlania wartości {\фрац {zrobił troy}{DT}}=-\iiint \granice _{W}\w lewo(\набла \cDOT na \mathbf {J} \prawej)dw\qquad \qquad (1)}
całkowity ładunek Q w zakresie V-Całka (kwota) ładowania gęstość w V
m = ∭ V i ρ d V {\właściwości wyświetlania stylu wartość m=\iiint \granice _{w}\RHO mot}
w ten sposób, u Leibniza Całka zasada,
d d d T = ∭ V i ∂ ρ ∂ t d W ( 2 ) {\właściwości styl wyświetlania wartości {\фрац {zrobił troy}{DT}}=\iiint \granice _{w}{\фрац {\partial \RHO }{\częściowego T}}dw\qquad \qquad \qquad \Quad z (2)}
porównując (1) i (2) daje
0 = ∭ w ( ∂ ρ ∂ T + ∇ ⋅ K ) D w ., {\displaystyle 0 = \ iiint \ limits _{V} \ left ({\frac {\partial\rho} {\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} \ right)dV.}
ponieważ jest to prawdziwe dla każdego woluminu, mamy ogólnie
ρ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho} {\partial t}}+ \ nabla \ cdot \ mathbf {J} =0.}