matematicamente, podemos afirmar a lei da conservação da carga como uma equação de continuidade:
∂ Q ∂ T = Q I N ( t ) − Q O U T ( t ) . {\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}={\dot {Q}}_{\rm {NO}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t).}
a equação de continuidade integrada entre dois valores temporais diz:
Q (t 2) = Q ( t 1) + ∫ T 1 T 2 ( Q I N ( t) − Q O U T ( t)) d T. {\displaystyle Q(t_{2})=P(t_{1})+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\dot {Q}}_{\rm {NO}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)\right)\,\mathrm {d} t.,}
a solução geral é obtida através da fixação do tempo de condição inicial t 0 {\displaystyle t_{0}}, levando à equação integral:
Q ( t ) = Q ( t 0 ) + ∫ T 0 T ( Q I N ( τ ) − Q o U T ( τ ) ) D τ . {\displaystyle Q(t)=Q(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {NO}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau ., ) ) d τ = 0 ∀ t > t 0 ⟹ Q eu N ( t ) = P U T ( t ) ∀ t > t 0 {\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {NO}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau =0\;\;\forall t>t_{0}\;\implica \;{\dot {Q}}_{\rm {NO}}(t)={\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)\;\;\forall t>t_{0}}
No campo eletromagnético teoria, cálculo vetorial pode ser usado para expressar a lei em termos da densidade de carga ρ (em coulombs por metro cúbico) elétrica e densidade de corrente J (em amperes por metro quadrado)., Isto é chamado de equação de continuidade da densidade de carga
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0. o termo à esquerda é a taxa de variação da densidade de carga ρ em um ponto. O termo à direita é a divergência da densidade atual J no mesmo ponto. A equação equaciona estes dois fatores, que diz que a única maneira para a densidade de carga em um ponto de mudança é para uma corrente de carga fluir para dentro ou para fora do ponto. Esta declaração é equivalente a uma conservação de quatro correntes.,
Matemática derivationEdit
A corrente líquida em um volume
I = − ∬ S J ⋅ d S {\displaystyle I=-\iint \limites _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S} }
onde S = ∂V é o limite de V orientada por apontando para fora normais, e o dS é um atalho para NdS, a normal aponta para fora da fronteira ∂V. Aqui J é a densidade de corrente (carga por unidade de área por unidade de tempo) na superfície do volume. O vector aponta na direcção da corrente.,
a Partir do teorema da Divergência este pode ser escrito
I = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) d V {\displaystyle I=-\iiint \limites _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV}
Cobrar conservação exige que a corrente líquida em um volume, deve, necessariamente, igual à variação líquida de carga dentro do volume.,
d q d t = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) d V ( 1 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=-\iiint \limites _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV\qquad \qquad (1)}
A carga total q no volume V é o integral (soma) da densidade de carga no V
q = ∭ V ρ d V {\displaystyle q=\iiint \limites _{V}\rho dV}
Então, por Leibniz integral regra
d q d t = ∭ V ∂ ρ ∂ t d V ( 2 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=\iiint \limites _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}dV\qquad \qquad \qquad \quad (2)}
Igualando (1) e (2) dá
0 = ∭ V ( ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J ) d V ., {\displaystyle 0 = \iiint \limits _{V}\left ({\frac {\partial \rho }{\partial t}}}+\nabla \cdot \mathbf {J} \right) dV. uma vez que isto é verdade para cada volume, temos em geral
∂ ρ + ∂ j = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}