Antigos GreeceEdit
A primeira prova da existência de números irracionais é normalmente atribuídos a Pitágoras (possivelmente Hippasus de Metapontum), que provavelmente descobri-las enquanto identificando os lados do pentagrama.O método pitagórico então atual teria afirmado que deve haver uma unidade suficientemente pequena e indivisível que poderia caber uniformemente em um desses comprimentos, bem como o outro., No entanto, Hipasus, no século V a. C., foi capaz de deduzir que não havia, de fato, unidade de medida comum, e que a afirmação de tal existência era, de fato, uma contradição. Ele fez isso demonstrando que se a hipotenusa de um triângulo isósceles era realmente comensurável com uma perna, então um desses comprimentos medidos nessa unidade de medida deve ser ímpar e par, o que é impossível. Seu raciocínio é o seguinte:
- começa com um triângulo isósceles com comprimentos laterais de inteiros a, b E C. A razão da hipotenusa para uma perna é representada por c:B.,
- assumir a, b, E C são nos menores termos possíveis (ou seja, eles não têm fatores comuns).
- pelo teorema de Pitágoras: c2 = a2+b2 = b2 + b2 = 2b2. (Uma vez que o triângulo é isósceles, a = b).
- Desde c2 = 2b2, c2 é divisível por 2, e portanto mesmo.uma vez que c2 é par, C deve ser par.
- Desde Que c é par, dividindo c por 2 produz um inteiro. Seja y este inteiro (c = 2y).
- Squaring both sides of c = 2y yields c2 = (2y)2, or c2 = 4y2.
- substituir 4Y2 por c2 na primeira equação (c2 = 2b2) dá-nos 4y2= 2b2.,
- dividindo por 2 rendimentos 2y2 = b2.
- Uma vez que y é um inteiro, e 2y2 = b2, b2 é divisível por 2, e portanto mesmo.uma vez que b2 é par, B deve ser par.acabamos de mostrar que b E c devem ser iguais. Assim, eles têm um fator comum de 2. No entanto, isto contradiz o pressuposto de que não têm factores comuns. Esta contradição prova que c e b não podem ser inteiros e, portanto, a existência de um número que não pode ser expresso como uma razão de dois inteiros.,
matemáticos gregos denominaram esta razão de magnitudes incomensuráveis alogos, ou inexprimíveis. Hippasus, no entanto, não foi elogiado por seus esforços: de acordo com uma lenda, ele fez sua descoberta, enquanto no mar, e, posteriormente, foi jogado ao mar por seus colegas Pitagóricos “…por ter produzido um elemento no universo que negou o…doutrina de que todos os fenômenos do universo pode ser reduzido a números inteiros e suas relações. Outra lenda afirma que Hipasus foi meramente exilado por esta revelação., Seja qual for a consequência para o próprio Hipasus, a sua descoberta colocou um problema muito grave para a matemática pitagórica, uma vez que quebrou a suposição de que o número e a geometria eram inseparáveis–uma base da sua teoria.
a descoberta de razões incomensuráveis foi indicativo de outro problema enfrentado pelos gregos: a relação do discreto com o contínuo. Isto foi trazido à luz por Zenão de Elea, que questionou a concepção de que as quantidades são discretas e compostas de um número finito de unidades de um determinado tamanho., Passado grego concepções ditado que necessariamente devem ser, por “números inteiros representam objetos discretos, e uma comensuráveis proporção representa uma relação entre duas coleções de pequenos objetos”, mas Zeno constatou que, de fato, ” em geral, não são discretos coleções de unidades; é por isso que as proporções de incomensurável aparecer….uantidades são, em outras palavras, contínuas.”O que isso significa é que, ao contrário da concepção popular da época, não pode haver uma unidade de medida indivisível, menor para qualquer quantidade. Que, de fato, essas divisões de quantidade devem necessariamente ser infinitas., Por exemplo, considere um segmento de linha: este segmento pode ser dividido ao meio, essa metade dividida ao meio, a metade da metade ao meio, e assim por diante. Este processo pode continuar infinitamente, pois há sempre outra metade a ser dividida. Quanto mais vezes o segmento é reduzido para metade, mais perto a unidade de medida chega a zero, mas nunca chega a exatamente zero. Foi o que Zenão tentou provar. Ele procurou provar isso formulando quatro paradoxos, que demonstraram as contradições inerentes ao pensamento matemático da época., Enquanto os paradoxos de Zenão demonstravam com precisão as deficiências das atuais concepções matemáticas, eles não eram considerados como prova da alternativa. Na mente dos gregos, refutar a validade de um ponto de vista não provava necessariamente a validade de outro, e, portanto, mais investigação teve que ocorrer.
O próximo passo foi dado por Eudoxo de Cnido, que formalizou uma nova teoria da proporção que levou em conta quantidades comensuráveis e incomensuráveis. A sua ideia Central foi a distinção entre magnitude e número. Magnitude “…,não era um número, mas representava entidades como segmentos de linha, ângulos, áreas, volumes e tempo que poderiam variar, como diríamos, continuamente. As Magnitudes eram opostas aos números, que saltavam de um valor para outro, como de 4 a 5. Os números são compostos de uma unidade indivisível menor, enquanto as magnitudes são infinitamente redutíveis. Uma vez que não foram atribuídos valores quantitativos a magnitudes, Eudoxus foi então capaz de dar conta de razões comensuráveis e incomensuráveis, definindo uma proporção em termos de sua magnitude, e proporção como uma igualdade entre duas razões., Ao tirar valores quantitativos (números) da equação, ele evitou a armadilha de ter que expressar um número irracional como um número. “A teoria de Eudoxus permitiu aos matemáticos gregos fazer um tremendo progresso na geometria, fornecendo a base lógica necessária para relações incomensuráveis.”This incommensurability is dealed with in Euclid’s Elements, Book X, Proposition 9.
como resultado da distinção entre número e magnitude, a geometria tornou-se o único método que poderia levar em conta razões incomensuráveis., Como fundações numéricas anteriores ainda eram incompatíveis com o conceito de incomensurabilidade, o foco Grego desviou-se das concepções numéricas como a álgebra e focou-se quase exclusivamente na geometria. De fato, em muitos casos, concepções algébricas foram reformuladas em termos geométricos. Isto pode explicar por que nós ainda concebemos x2 e x3 como X ao quadrado e x ao cubo em vez de x para a segunda potência e x para a terceira potência., Também crucial para o trabalho de Zenão com magnitudes incomensuráveis foi o foco fundamental no raciocínio dedutivo que resultou da quebra fundamental da matemática grega anterior. A compreensão de que alguma concepção básica dentro da teoria existente estava em desacordo com a realidade exigiu uma investigação completa e completa dos axiomas e suposições que estão subjacentes a essa teoria. Desta necessidade, Eudoxo desenvolveu seu método de exaustão, uma espécie de reductio ad absurdum que “…estabeleceu a organização dedutiva com base em axiomas explícitos…”as well as”…,reforçou a decisão anterior de basear-se em argumentos dedutivos para a prova.”Este método de exaustão é o primeiro passo na criação do cálculo.Teodoro de Cirene provou a irracionalidade das surdas de números inteiros até 17, mas parou lá provavelmente porque a álgebra que ele usou não poderia ser aplicada à raiz quadrada de 17.não foi até Eudoxo desenvolver uma teoria da proporção que levou em conta razões irracionais e racionais que uma forte base matemática dos Números Irracionais foi criada.,
IndiaEdit
problemas geométricos e matemáticos envolvendo números irracionais, tais como raízes quadradas, foram tratados muito cedo durante o período védico na Índia. Há referências a tais cálculos nas Samhitas, Brahmanas e os Sutras Shulba (800 a. C. ou antes). (See Bag, Indian Journal of History of Science, 25 (1-4), 1990).
sugere-se que o conceito de irracionalidade foi implicitamente aceito por matemáticos indianos desde o século VII a. C., Quando Manava (C., 750-690 A. C.) acreditava que as raízes quadradas de números como 2 e 61 não podiam ser exatamente determinadas. No entanto, o historiador Carl Benjamin Boyer escreve que”tais afirmações não são bem fundamentadas e é improvável que sejam verdadeiras”.
também é sugerido que Aryabhata (5º século D.C.), no cálculo de um valor de pi 5 algarismos significativos, usou a palavra āsanna (aproximando-se), para dizer que essa não é apenas uma aproximação, mas que o valor é incomensurável (ou irracional).,mais tarde, em seus tratados, matemáticos indianos escreveram sobre a aritmética de surds incluindo adição, subtração, multiplicação, racionalização, bem como separação e extração de raízes quadradas.
Matemáticos como Brahmagupta (em 628 d.c.) e Bhāskara I (em 629 D.C.) fez contribuições nesta área, assim como outros matemáticos que se seguiram. No século XII Bhāskara II avaliou algumas dessas fórmulas e criticou-as, identificando suas limitações.,durante os séculos XIV a XVI, Madhava de Sangamagrama e a Escola de Astronomia e matemática de Kerala descobriram a série infinita para vários números irracionais, como π e certos valores irracionais das funções trigonométricas. Jyesthadeva forneceu provas para estas séries infinitas no Yuktibhāṣā.
Agesedit Médio
na Idade Média, o desenvolvimento da álgebra por matemáticos muçulmanos permitiu que números irracionais fossem tratados como objetos algébricos., Matemáticos do Oriente Médio também fundiram os conceitos de “número” e “magnitude” em uma idéia mais geral de números reais, criticaram a ideia de Euclides de rácios, desenvolveram a teoria de rácios compostos, e estenderam o conceito de número para rácios de magnitude contínua. Em seu comentário sobre o Livro 10 dos elementos, o matemático persa Al-Mahani (M. 874/884) examinou e classificou as irracionais quadráticas e as irracionais cúbicas. Ele forneceu definições para magnitudes racionais e irracionais, que ele tratava como números irracionais., Ele lidou com eles livremente, mas explica-os em termos geométricos como segue:
” será um racional (magnitude) quando, por exemplo, digamos, 10, 12, 3%, 6%, etc., porque seu valor é pronunciado e expresso quantitativamente. O que não é racional é irracional e é impossível pronunciar e representar seu valor quantitativamente. Por exemplo: as raízes de números como 10, 15, 20 que não são quadrados, os lados de números que não são cubos etc.,”
Em contraste com o conceito de Euclides de magnitudes como linhas, Al-Mahani considerou inteiros e frações como magnitudes racionais, e raízes quadradas e raízes cúbicas como magnitudes irracionais. Ele também introduziu um aritmética abordagem para o conceito de irracionalidade, como ele atribui os seguintes para irracional magnitudes:
“a sua somas ou diferenças, ou os resultados de sua adição a um racional magnitude, ou o resultado da subtração de uma magnitude deste tipo a partir de um irracional, ou de um racional magnitude do mesmo.,”
O matemático Egípcio Abu Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850 – 930) foi o primeiro a aceitar números irracionais como soluções de equações de segundo grau ou como coeficientes de uma equação, muitas vezes na forma de raízes quadradas, raízes cúbicas e quarta raízes. No século X, o matemático Iraquiano Al-Hashimi forneceu provas gerais (ao invés de demonstrações geométricas) para números irracionais, como ele considerava multiplicação, divisão e outras funções aritméticas., Iraniano matemático, Abu Ja’far al-Khāzin (900-971) fornece uma definição de racional e irracional magnitudes, afirmando que, se um definitivo quantidade é:
“contidas em uma dada magnitude de uma vez ou muitas vezes, em seguida, este (dado) de magnitude corresponde a um número racional. . . . Cada vez que esta (última) magnitude compreende uma metade, ou um terço, ou um quarto da magnitude dada (da unidade), ou, em comparação com (a unidade), compreende três, cinco, ou três quintos, é uma magnitude racional., E, em geral, cada magnitude que corresponde a esta magnitude (isto é, à unidade), como um número para outro, é racional. Se, no entanto, uma magnitude não pode ser representada como um múltiplo, uma parte (1/n), ou partes (m/n) de uma dada magnitude, é irracional, ou seja, não pode ser expresso senão por meio de raízes.”
muitos destes conceitos foram eventualmente aceitos por matemáticos europeus algum tempo depois das traduções latinas do século XII., Al-Hassār, um matemático Marroquino de Fez especializado na jurisprudência da herança islâmica durante o século XII, menciona pela primeira vez o uso de uma barra fracionada, onde numeradores e denominadores são separados por uma barra horizontal. Em sua discussão ele escreve:”…, por exemplo, se lhe for dito para escrever três quintos e um terço de um quinto, escreva assim, 3 1 5 3 {\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}}. Esta mesma notação fracionária aparece logo depois na obra de Leonardo Fibonacci no século XIII.,o século XVII viu os números imaginários tornarem-se uma poderosa ferramenta nas mãos de Abraham De Moivre, e especialmente de Leonhard Euler. A conclusão da teoria dos números complexos no século XIX implicou a diferenciação das irracionais em números algébricos e transcendentais, a prova da existência dos números transcendentais e o ressurgimento do estudo científico da teoria das irracionais, amplamente ignorado desde Euclides., O ano de 1872 foi marcado pela publicação das teorias de Karl Weierstrass (por seu pupilo Ernst Kossak), Eduard Heine (diário de Crelle, 74), Georg Cantor (Annalen, 5) e Richard Dedekind. Méry tinha tomado em 1869 o mesmo ponto de partida que Heine, mas a teoria é geralmente referida ao ano de 1872. O método de Weierstrass foi completamente estabelecido por Salvatore Pincherle em 1880, e Dedekind recebeu destaque adicional através da obra posterior do autor (1888) e o endosso por Paul Tannery (1894)., Weierstrass, Cantor e Heine baseiam suas teorias em séries infinitas, enquanto Dedekind baseia sua ideia de um corte (Schnitt) no sistema de todos os números racionais, separando-os em dois grupos com certas propriedades características. O assunto recebeu contribuições posteriores nas mãos de Weierstrass, Leopold Kronecker (Crelle, 101) e Charles Meray.,
Continua frações, intimamente relacionado com números irracionais (e, devido a Cataldi, 1613), recebeu atenção nas mãos de Euler, e na abertura do século 19, foram colocados em destaque através dos escritos de Joseph-Louis Lagrange. Dirichlet também acrescentou à teoria geral, assim como numerosos contribuidores para as aplicações do assunto.Johann Heinrich Lambert provou (1761) Que π Não pode ser racional, e que en é irracional se n é racional (a menos que n = 0)., Enquanto a prova de Lambert é muitas vezes chamada de incompleta, avaliações modernas sustentam-na como satisfatória, e na verdade, por seu tempo é excepcionalmente rigorosa. Adrien-Marie Legendre (1794), depois de introduzir a função Bessel–Clifford, forneceu uma prova para mostrar que π2 é irracional, donde se segue imediatamente Que π é irracional também. A existência de números transcendentais foi estabelecida pela primeira vez por Liouville (1844, 1851). Mais tarde, Georg Cantor (1873) provou a sua existência por um método diferente, que mostrou que cada intervalo nos reais contém números transcendentais., Charles Hermite (1873) provou pela primeira vez e transcendental, e Ferdinand von Lindemann (1882), a partir das conclusões de Hermita, mostrou o mesmo para π. A prova de Lindemann foi muito simplificada por Weierstrass (1885), ainda mais por David Hilbert (1893), e foi finalmente feita elementar por Adolf Hurwitz e Paul Gordan.