matematic, putem afirma legea conservării sarcinii ca ecuație de continuitate:
∂ Q ∂ t = Q I N ( T ) − Q O U T ( T ) . {\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}={\dot {Q}}_{\rm {ÎN}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t).}
ecuația de continuitate integrată între două valori de timp Citește:
Q ( t 2) = Q ( T 1) + ∫ t 1 t 2 ( Q I N ( T) − Q O U T ( T)) d t . {\displaystyle Q(t_{2})=Q(t_{1})+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\dot {Q}}_{\rm {ÎN}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)\right)\,\mathrm {d} t.,}
soluția generală se obține prin fixarea timpului inițial de condiție t 0 {\displaystyle t_{0}}, conducând la ecuația integrală:
Q ( t ) = Q ( T 0 ) + ∫ t 0 t ( Q I n ( τ ) − Q O U T (τ ) ) D τ . {\displaystyle Q(t)=Q(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {ÎN}}(\uta )-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \uta ., ) ) d τ = 0 ∀ t > t 0 ⟹ Q N ( t ) = Q U T ( t), ∀ t > t 0 {\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {ÎN}}(\uta )-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \uta =0\;\;\pentrutoate t>t_{0}\;\implică \;{\dot {Q}}_{\rm {ÎN}}(t)={\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)\;\;\pentrutoate t>t_{0}}
În teoria câmpului electromagnetic, calculul vectorial poate fi folosit pentru a exprima legea în ceea ce privește taxa de densitate ρ (în coulombi pe metru cub) electric și densitatea de curent J (în amperi pe metru pătrat)., Aceasta se numește ecuația de continuitate a densității de încărcare
ρ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}
termenul din stânga este rata de schimbare a densității de încărcare ρ la un punct. Termenul din dreapta este divergența densității curente J în același punct. Ecuația echivalează acești doi factori, care spune că singura cale pentru densitatea de încărcare la un punct pentru a schimba este pentru un curent de încărcare să curgă în sau în afara punctului. Această afirmație este echivalentă cu o conservare a celor patru curenți.,
Matematice derivationEdit
net curent într-un volum este
I = − ∬ S J ⋅ d S {\displaystyle I=-\iint \limite _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S} }
în cazul în care S = ∂V este limita de V orientată către exterior-arătând normali, iar dS este prescurtarea pentru NdS, exterior arătând normal de frontiera ∂v J este densitatea de curent (sarcina pe unitatea de suprafață în unitatea de timp) la suprafața de volum. Vectorul indică direcția curentului.,
De Divergență teorema acest lucru poate fi scris
I = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) d V {\displaystyle I=-\iiint \limite _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV}
Taxa conservare necesită nete actuale într-un volum trebuie neapărat să fie egal cu variația netă a percepe în volum.,
d q d t = ∭ V ( ∇ ⋅ J ) d V ( 1 ) {\displaystyle {\frac {cr}{dt}}=-\iiint \limite _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV\qquad \qquad (1)}
sarcina totală q în volumul V este integrală (suma) taxa de densitate în V
q = ∭ V ρ d V {\displaystyle q=\iiint \limite _{V}\rho dV}
Deci, de Leibniz integrantă regulă
d q d t = ∭ V ∂ ρ ∂ t d V ( 2 ) {\displaystyle {\frac {cr}{dt}}=\iiint \limite _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}dV\qquad \qquad \qquad \quad (2)}
Echivalarea (1) și (2) oferă
0 = ∭ V ( ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J ) d V ., {\displaystyle 0=\iiint \limite _{V}\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV.}
deoarece acest lucru este valabil pentru fiecare volum, avem în general
ρ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}