Antice GreeceEdit
prima dovadă a existenței unor numere iraționale este de obicei atribuit-o lui Pitagora (eventual Hippasus Metapontum), care, probabil, le-a descoperit în timp ce identificarea părți ale pentagramei.Metoda pitagoreană actuală de atunci ar fi susținut că trebuie să existe o unitate suficient de mică, indivizibilă, care să se potrivească uniform într-una din aceste lungimi, precum și în cealaltă., Cu toate acestea, Hippasus, în secolul 5 Î. hr., a fost capabil de a deduce că nu există de fapt nici o unitate comună de măsură, și că afirmația de astfel de existență a fost de fapt o contradicție. El a făcut acest lucru, demonstrând că dacă ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel a fost într-adevăr comensurabil cu un picior, apoi unul dintre cei lungimi măsurate în unități de măsură trebuie să fie atât de ciudat, și chiar, ceea ce este imposibil. Raționamentul său este după cum urmează:
- începeți cu un triunghi drept izoscel cu lungimi laterale ale numerelor întregi a, b și c. raportul ipotenuzei cu un picior este reprezentat de c:b.,
- presupunem că a, b și c sunt în cei mai mici termeni posibili (adică nu au factori comuni).
- prin teorema lui Pitagora: c2 = A2 + b2 = b2 + b2 = 2B2. (Deoarece triunghiul este isoscel , a = b).
- deoarece c2 = 2B2, c2 este divizibil cu 2 și, prin urmare, chiar.deoarece c2 este egal, c trebuie să fie egal.
- deoarece c este egal, împărțirea c la 2 produce un număr întreg. Fie y acest număr întreg (c = 2y).
- pătratul ambelor părți ale C = 2Y produce C2 = (2y)2 sau c2 = 4Y2.
- Înlocuind 4y2 pentru c2 în prima ecuație (c2 = 2b2) ne dă 4y2= 2b2.,
- împărțind cu 2 randamente 2Y2 = b2.
- deoarece y este un număr întreg și 2y2 = b2, b2 este divizibil cu 2 și, prin urmare, chiar.deoarece b2 este egal, b trebuie să fie egal.
- tocmai am arătat că atât b cât și c trebuie să fie uniforme. Prin urmare, au un factor comun de 2. Cu toate acestea, acest lucru contrazice presupunerea că nu au factori comuni. Această contradicție dovedește că c și b nu pot fi ambele numere întregi și astfel existența unui număr care nu poate fi exprimat ca un raport de două numere întregi., matematicienii greci au numit acest raport al magnitudinilor incomensurabile alogos sau inexprimabil. Hippasus, cu toate acestea, nu a fost laudat pentru eforturile sale: potrivit unei legende, el a făcut descoperirea în timp ce pe mare, și, ulterior, a fost aruncat peste bord de către colegii de Pitagoreici „…pentru că a produs un element din univers care a negat…doctrina că toate fenomenele din univers nu poate fi redus la numere întregi și rapoartele lor.”O altă legendă afirmă că Hippasus a fost doar exilat pentru această revelație., Oricare ar fi consecința pentru Hippasus însuși, descoperirea sa a reprezentat o problemă foarte gravă matematicii pitagoreice, deoarece a spulberat presupunerea că numărul și geometria erau inseparabile–o temelie a teoriei lor.descoperirea raporturilor incomensurabile a indicat o altă problemă cu care se confruntă grecii: relația dintre discret și continuu. Acest lucru a fost adus în lumină de Zeno de Elea, care a pus la îndoială concepția că cantitățile sunt discrete și compuse dintr-un număr finit de unități de o anumită dimensiune., Concepțiile grecești din trecut dictau că ele trebuie neapărat să fie, pentru că „numerele întregi reprezintă obiecte discrete, iar un raport comensurabil reprezintă o relație între două colecții de obiecte discrete”, dar Zeno a constatat că, de fapt, ” în general, nu sunt colecții discrete de unități; de aceea apar rapoarte de incomensurabile….uantitățile sunt, cu alte cuvinte, continue.”Ceea ce înseamnă acest lucru este că, contrar concepției populare a timpului, nu poate exista o unitate de măsură indivizibilă și cea mai mică pentru nicio cantitate. Că, de fapt, aceste diviziuni de cantitate trebuie să fie neapărat infinite., De exemplu, luați în considerare un segment de linie: acest segment poate fi împărțit în jumătate, acea jumătate împărțită în jumătate, jumătatea jumătății în jumătate și așa mai departe. Acest proces poate continua la infinit, pentru că există întotdeauna o altă jumătate care trebuie împărțită. Cu cât segmentul este redus la jumătate, cu atât unitatea de măsură este mai aproape de zero, dar nu atinge niciodată exact zero. Aceasta este exact ceea ce Zeno a căutat să dovedească. El a căutat să demonstreze acest lucru prin formularea a patru paradoxuri, care au demonstrat contradicțiile inerente gândirii matematice a timpului., În timp ce paradoxurile lui Zeno au demonstrat cu exactitate deficiențele concepțiilor matematice actuale, ele nu au fost considerate ca o dovadă a alternativei. În mintea grecilor, respingerea validității unei opinii nu a dovedit neapărat validitatea alteia și, prin urmare, a trebuit să apară investigații suplimentare.următorul pas a fost făcut de Eudoxus din Cnidus, care a formalizat o nouă teorie a proporției care a luat în considerare cantitățile comensurabile și incomensurabile. Punctul Central al ideii sale a fost distincția dintre magnitudine și număr. O magnitudine”…,nu a fost un număr, ci a reprezentat entități precum segmente de linie, unghiuri, zone, volume și timp care ar putea varia, așa cum am spune, continuu. Magnitudinile s-au opus numerelor, care au sărit de la o valoare la alta, de la 4 la 5.”Numerele sunt compuse dintr-o unitate mai mică, indivizibilă, în timp ce magnitudinile sunt infinit reductibile. Deoarece nu s-au atribuit valori cantitative magnitudinilor, Eudoxus a putut apoi să țină cont atât de raporturi comensurabile, cât și incomensurabile, definind un raport în ceea ce privește magnitudinea și proporția ca egalitate între două raporturi., Luând valori cantitative (numere) din ecuație, el a evitat capcana de a trebui să exprime un număr irațional ca număr. „Teoria lui Eudoxus a permis matematicienilor greci să facă progrese enorme în geometrie, furnizând baza logică necesară pentru raporturi incomensurabile.”Această incomensurabilitate este tratată în Elementele lui Euclid, cartea X, propunerea 9.ca urmare a distincției dintre număr și magnitudine, geometria a devenit singura metodă care ar putea lua în considerare raporturile incomensurabile., Deoarece bazele numerice anterioare erau încă incompatibile cu conceptul de incomensurabilitate, concentrarea greacă s-a îndepărtat de acele concepții numerice, cum ar fi algebra și s-a concentrat aproape exclusiv pe geometrie. De fapt, în multe cazuri concepțiile algebrice au fost reformulate în termeni geometrici. Acest lucru poate explica de ce încă concepem x2 și x3 ca X pătrat și X cubat în loc de x la a doua putere și x la a treia putere., De asemenea, crucial pentru munca lui Zeno cu magnitudini incomensurabile a fost accentul fundamental pe raționamentul deductiv care a rezultat din distrugerea fundamentală a matematicii grecești anterioare. Realizarea faptului că o anumită concepție de bază în cadrul teoriei existente era în contradicție cu realitatea a necesitat o investigare completă și aprofundată a axiomelor și ipotezelor care stau la baza acestei teorii. Din această necesitate, Eudoxus și-a dezvoltat metoda de epuizare, un fel de reductio ad absurdum care „…a stabilit organizația deductivă pe baza axiomelor explicite…”precum și „…,a întărit decizia anterioară de a se baza pe raționamentul deductiv pentru dovadă.”Această metodă de epuizare este primul pas în crearea calculului.Theodorus din Cyrene a dovedit iraționalitatea surdurilor de numere întregi până la 17, dar s-a oprit acolo probabil pentru că algebra pe care a folosit-o nu a putut fi aplicată la rădăcina pătrată a lui 17.până când Eudoxus a dezvoltat o teorie a proporției care a luat în considerare raporturile iraționale și raționale, a fost creată o fundație matematică puternică a numerelor iraționale.,
IndiaEdit
problemele geometrice și matematice care implică numere iraționale, cum ar fi rădăcinile pătrate, au fost abordate foarte devreme în perioada vedică din India. Există referiri la astfel de calcule în Samhitas, Brahmanas și Shulba Sutra (800 î.HR. sau mai devreme). (Vezi Bag, Jurnalul Indian de Istorie a științei, 25 (1-4), 1990).
Acesta este sugerat conceptul de iraționalitate a fost implicit acceptată de Indian matematicieni din secolul 7 Î. hr., când Manava (c., 750-690 Î. HR.) credea că rădăcinile pătrate ale unor numere precum 2 și 61 nu puteau fi determinate exact. Cu toate acestea, Istoricul Carl Benjamin Boyer scrie că „astfel de afirmații nu sunt bine fundamentate și este puțin probabil să fie adevărate”.
Acesta este, de asemenea, a sugerat că Aryabhata (al 5-lea AD), în calcul o valoare de pi la 5 cifre semnificative, folosit cuvântul āsanna (se apropie), înseamnă că nu este doar o aproximare, dar că valoarea este incomensurabile (sau irațional).,mai târziu, în tratatele lor, matematicienii indieni au scris despre aritmetica surdurilor, inclusiv adunarea, scăderea, înmulțirea, raționalizarea, precum și separarea și extragerea rădăcinilor pătrate.
Matematicieni ca Brahmagupta (în 628 AD) și Bhāskara I (în 629 AD) a adus contribuții în acest domeniu, la fel ca și alți matematicieni care au urmat. În secolul al XII-lea Bhāskara II a evaluat unele dintre aceste formule și le-a criticat, identificând limitările lor.,
În perioada 14-16 secole, Madhava de Sangamagrama și Kerala școală de astronomie și matematică descoperit o serie infinită pentru mai multe numere iraționale, cum ar fi π și anumite iraționale valori ale funcțiilor trigonometrice. Jyeṣṭhadeva a furnizat dovezi pentru aceste serii infinite în Yuktibhāṣā.în Evul Mediu, dezvoltarea algebrei de către matematicienii musulmani a permis ca numerele iraționale să fie tratate ca obiecte algebrice., Matematicienii din Orientul Mijlociu au fuzionat, de asemenea, conceptele de „număr” și „magnitudine” într-o idee mai generală a numerelor reale, au criticat ideea lui Euclid despre raporturi, au dezvoltat teoria raporturilor compozite și au extins conceptul de număr la raporturi de magnitudine continuă. În comentariul său la Cartea 10 de Elemente, matematician persan Al-Mahani (d. 874/884) examinate și clasificate pătratice irrationals și cubic irrationals. El a furnizat definiții pentru magnitudini raționale și iraționale, pe care le-a tratat ca numere iraționale., El le-a tratat liber, dar le explică în termeni geometrici după cum urmează:
„va fi o rațională (magnitudine) atunci când, de exemplu, spunem 10, 12, 3%, 6%, etc., deoarece valoarea sa este pronunțată și exprimată cantitativ. Ceea ce nu este rațional este irațional și este imposibil să se pronunțe și să se reprezinte valoarea cantitativă. De exemplu: rădăcinile numerelor, cum ar fi 10, 15, 20 care nu sunt pătrate, laturile numerelor care nu sunt cuburi etc.,”
În contrast cu a lui Euclid conceptul de magnitudini ca linii, Al-Mahani considerate numere întregi și fracții ca rațională magnitudini, și rădăcini pătrate și cubice rădăcini la fel de irațională magnitudini. El a introdus, de asemenea, o aritmetică abordare a conceptului de iraționalitate, ca el atribuie următoarele iraționale mărimi:
„lor sume sau diferențe, sau rezultatele lor plus față de o mărime rațională, sau rezultate din scăderea o magnitudine de acest fel din una irațională, sau de un raționale mărime de la ea.,”
matematicianul Egiptean Abu Kamil Shujā ibn Aslam (c. 850 – 930) a fost primul de a accepta numere iraționale ca soluții la ecuații pătratice sau ca coeficienți într-o ecuație, de multe ori în formă de rădăcini pătrate, cuburi, rădăcini și a patra rădăcini. În secolul al X-lea, matematicianul irakian Al-Hashimi a furnizat dovezi generale (mai degrabă decât demonstrații geometrice) pentru numerele iraționale, deoarece a considerat înmulțirea, împărțirea și alte funcții aritmetice., Iranian matematician, Abu Ja ‘ far al-Khāzin (900-971) oferă o definiție rațională și irațională magnitudini, care să ateste că, dacă o cantitate definită este:
„conținute într-o anumită mărime, o dată sau de mai multe ori, atunci acest lucru (dat) mărime corespunde un număr rațional. . . . De fiecare dată când această magnitudine (din urmă) cuprinde o jumătate sau o treime sau un sfert din magnitudinea dată (a unității) sau, în comparație cu (unitatea), cuprinde trei, cinci sau trei cincimi, este o magnitudine rațională., Și, în general, fiecare magnitudine care corespunde acestei magnitudini (adică unității), ca un număr la altul, este rațională. Dacă, totuși, o magnitudine nu poate fi reprezentată ca un multiplu, o parte (1/n) sau părți (m/n) de o anumită magnitudine, este irațională, adică nu poate fi exprimată altfel decât prin rădăcini.”
multe dintre aceste concepte au fost în cele din urmă acceptate de matematicienii europeni cândva după traducerile latine ale secolului al XII-lea., Al-Hassār, un matematician marocan din Fez specializat în jurisprudența moștenirii islamice în secolul al XII-lea, menționează mai întâi utilizarea unei bare fracționate, unde numărătorii și numitorii sunt separați de o bară orizontală. În discuția sa scrie,”…, de exemplu, dacă vi se spune să scrieți trei cincimi și o treime dintr-o cincime, scrieți astfel, 3 1 5 3 {\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}} .”Aceeași notație fracționată apare la scurt timp după aceea în lucrarea lui Leonardo Fibonacci în secolul al XIII-lea.,în secolul al XVII-lea, numerele imaginare au devenit un instrument puternic în mâinile lui Abraham de Moivre și mai ales ale lui Leonhard Euler. Finalizarea teoriei numere complexe în secolul al 19-lea a determinat o diferențiere a irrationals într-algebrice și numere transcedentale, dovada existenței transcendentale numere, și reapariția studiul științific al teoriei irrationals, în mare parte ignorate de Euclid., În anul 1872 a văzut publicarea de teoriile lui Karl Weierstrass (către elevul său Ernst Kossak), Eduard Heine (Jurnalul lui Crelle, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), și Richard Dedekind. Méray a luat în 1869 același punct de plecare ca Heine, dar teoria se referă în general la anul 1872. Weierstrass metoda lui a fost complet stabilit de către Salvatore a interpretării sale, în 1880, și Dedekind a primit suplimentare importanță prin autorului munca de mai târziu (1888) și aprobarea de către Paul Tăbăcărie (1894)., Weierstrass, Cantor, și Heine bază teoriile lor privind serie infinită, în timp ce Dedekind fondează pe ideea de a o taia (Schnitt) în sistemul de toate numerele raționale, separându-le în două grupuri care au anumite proprietăți caracteristice. Subiectul a primit mai târziu contribuții la mâinile lui Weierstrass, Leopold Kronecker (Crelle, 101), și Charles Méray.,fracțiunile continue, strâns legate de numerele iraționale (și datorită lui Cataldi, 1613), au primit atenție în mâinile lui Euler, iar la deschiderea secolului al XIX-lea au fost aduse în evidență prin scrierile lui Joseph-Louis Lagrange. Dirichlet a adăugat, de asemenea, la teoria generală, așa cum au numeroși contribuitori la aplicațiile subiectului.Johann Heinrich Lambert a dovedit (1761) că π nu poate fi rațional și că en este irațional dacă n este rațional (cu excepția cazului în care n = 0)., În timp ce dovada lui Lambert este adesea numită incompletă, evaluările moderne o susțin ca fiind satisfăcătoare și, de fapt, pentru timpul său este neobișnuit de riguroasă. Adrien-Marie Legendre (1794), după introducerea funcției Bessel–Clifford, a oferit o dovadă care să arate că π2 este irațional, de unde rezultă imediat că π este și irațional. Existența numerelor transcendentale a fost stabilită pentru prima dată de Liouville (1844, 1851). Mai târziu, Georg Cantor (1873) și-a dovedit existența printr-o metodă diferită, care a arătat că fiecare interval Din reale conține numere transcendentale., Charles Hermite (1873) a dovedit mai întâi e transcendental, iar Ferdinand von Lindemann (1882), pornind de la concluziile lui Hermite, a arătat același lucru pentru π. Dovada lui Lindemann a fost mult simplificată de Weierstrass (1885), încă mai departe de David Hilbert (1893), și a fost în cele din urmă făcută elementară de Adolf Hurwitz și Paul Gordan.