matematiskt kan vi ange lagen om charge conservation som en kontinuitetsekvation:
q t = Q i n ( t ) − Q o u t ( t ) . {\displaystyle {\frac {\partial Q} {\partial t}} = {\dot {Q}}_{\rm {IN}} (t) – {\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t).}
den integrerade kontinuitetsekvationen mellan två tidsvärden lyder:
Q ( T 2 ) = Q ( T 1) + T 1 T 2 ( Q i n ( t ) − Q o u t ( t ) ) d t . {\displaystyle Q(t_{2})=Q(t_{1})+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\dot {Q}}_{\rm {in}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)\right)\,\mathrm {d} t.,}
den allmänna lösningen erhålls genom att fastställa den ursprungliga tillståndstiden t 0 {\displaystyle t_{0}} , vilket leder till den integrerade ekvationen:
Q ( t ) = Q ( t 0) + t 0 T ( Q i n ( τ ) − q o u t ( τ ) ) d τ . {\displaystyle Q(T)=Q(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {in}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau ., ) d τ = 0 t > t 0 Q i n ( t) = Q o u t ( t) t > t 0 {\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}}_{\rm {in}} (\tau)- {\dot {Q}}_{\rm {OUT}} (\tau) \höger)\,\mathrm {d} \tau =0\;\;\forall t>t_{0}\;\implies \;{\Dot {q}}_{\RM {in}} (t)={\Dot {Q}}_{\rm {out}} (t)\;\;\forall t>t_{0}}
i elektromagnetisk fältteori vektorkalkyl kan användas för att uttrycka lagen när det gäller laddningstäthet ρ (i Coulombs per kubikmeter) och elektrisk strömtäthet J (i ampere per kvadratmeter)., Detta kallas laddningsdensitetskontinuitetsekvationen
trip trip t + j = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}
termen till vänster är förändringstakten för laddningsdensiteten ρ vid en punkt. Termen till höger är divergensen av den nuvarande densiteten J vid samma punkt. Ekvationen motsvarar dessa två faktorer, som säger att det enda sättet för laddningstätheten vid en punkt att ändra är att en laddningsström strömmar in i eller ut ur punkten. Detta uttalande motsvarar ett bevarande av fyra ström.,
matematisk härledning
nätströmmen till en volym är
I = − s j d s {\displaystyle i=-\iint \limits _{s}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} }
där S = V är gränsen för V orienterad av utåtriktade normaler, och dS är stenografi för NdS, den yttre pekande normal av gränsen V. Här J är den nuvarande densiteten (avgift per enhetsområde per tidsenhet) vid ytan av volymen. Vektorn pekar i riktning mot strömmen.,
från Divergenssatsen kan detta skrivas
i = − v (J ) D V {\displaystyle I=-\iiint \limits _{v}\left(\nabla \cdot \mathbf {j} \right)DV}
Charge Conservation kräver att nettoströmmen i en volym nödvändigtvis måste motsvara nettoförändringen i laddning inom volymen.,
d q d t = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) d V ( 1 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=-\iiint \gränser _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV\qquad \qquad (1)}
Den totala laddningen q i volymen V är integrerad (summan) av laddningstätheten i V
q = ∭ V ρ d V {\displaystyle f=\iiint \gränser _{V}\rho dV}
Så, av Leibniz integrerad regel
d q d t = ∭ V ∂ ρ ∂ t d V ( 2 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=\iiint \gränser _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}dV\qquad \qquad \qquad \quad (2)}
Likställer (1) och (2) ger
0 = ∭ V ( ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J ) d V ., {\displaystyle 0=\iiint \gränser _{V}\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV.}
eftersom detta är sant för varje volym har vi i allmänhet
ρ trip t + trip J = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}