Antiikin GreeceEdit
ensimmäinen todiste siitä, että on olemassa irrationaalinen numerot on yleensä syynä Pythagoraan (mahdollisesti Hippasus ja Metapontum), joka luultavasti löysi heitä, kun tunnistaa puolin pentagrammi.Sitten-nykyinen Pythagoraan menetelmä voisi olla väitti, että jossain täytyy olla riittävän pieni, jakamaton yksikkö, joka mahtuisi tasaisesti osaksi yksi näistä pituudet sekä muut., Kuitenkin, Hippasus, vuonna 5. vuosisadalla EKR, on voinut päätellä, että siellä oli itse asiassa yhteinen mittayksikkö, ja että väite tällaisen olemassaolo oli itse asiassa ristiriita. Hän teki tämän osoittamalla, että jos hypotenuusa on tasakylkinen suorakulmainen kolmio oli todellakin commensurable jalka, sitten yksi näistä pituudet mitataan, että mittayksikkö on olla sekä pariton ja parillinen, mikä on mahdotonta. Hänen perustelunsa on seuraava:
- Aloita tasakylkisen kolmion sivujen pituudet kokonaislukuja a, b ja c. Suhde hypotenuusa jalka edustaa c:b.,
- Olettaa a, b, ja c ovat pienimmät mahdolliset ehdot (eli niillä ei ole yhteisiä tekijöitä).
- Pythagoraan lauseen mukaan: c2 = A2+b2 = b2+b2 = 2B2. (Koska kolmio on isosceles, a = b).
- koska c2 = 2B2, c2 on jaollinen 2, ja siksi jopa.
- koska c2 on tasainen, c: n on oltava tasainen.
- Koska c on parillinen, jakamalla c 2 saadaan kokonaisluku. Olkoon y on tämä kokonaisluku (c = 2Y).
- Neliöiminen C = 2Y: n molemmin puolin tuottaa C2 = (2y)2 eli c2 = 4y2.
- Korvaamalla 4y2 c2 ensimmäinen yhtälö (c2 = 2b2) antaa meille 4y2= 2b2.,
- Jakamalla 2 saadaan 2y2 = b2.
- Koska y on kokonaisluku, ja 2y2 = b2, b2 on jaollinen luvulla 2, ja sen vuoksi jopa.
- koska B2 on tasainen, b: n täytyy olla tasainen.
- olemme juuri osoittaneet, että sekä b: n että c: n on oltava tasoissa. Siksi niillä on yhteinen tekijä 2. Tämä on kuitenkin ristiriidassa sen oletuksen kanssa, että niillä ei ole yhteisiä tekijöitä. Tämä ristiriita todistaa, että c ja b eivät voi molemmat olla kokonaislukuja, ja siten olemassa useita, joita ei voida ilmaista suhde kaksi kokonaislukua.,
kreikan matemaatikot kutsua tämä suhde incommensurable suuruus alogos, tai sanoin kuvaamaton. Hippasus, kuitenkin, ei kehuttu hänen ponnisteluistaan: erään legendan, hän teki löydön, kun taas merellä, ja oli myöhemmin heitetty yli laidan hänen kaveri Pythagoreans ”…laatinut elementti universumissa, joka kielsi…oppi, että kaikki ilmiöt maailmankaikkeudessa voidaan vähentää kokonaislukuja ja niiden suhteet.”Erään toisen legendan mukaan Hippasos oli vain maanpaossa tämän ilmestyksen vuoksi., Riippumatta seuraus Hippasus itse, hänen löytö aiheutti erittäin vakava ongelma Pythagoraan matematiikan, koska se särkyneet oletukseen, että määrä ja geometria olivat erottamattomia–säätiön niiden teoriaa.
incommensurable-suhdelukujen löytyminen oli osoitus toisesta kreikkalaisten kohtaamasta ongelmasta: diskreetin suhteesta jatkuvaan. Tämän toi esiin Zenon Elealainen, joka kyseenalaisti käsityksen, että määrät ovat diskreettejä ja koostuvat äärellisestä määrästä tietyn kokoisia yksiköitä., Aiemmin kreikan käsityksiä saneli, että ne on välttämättä olla, sillä ”koko luvut ovat erillisiä esineitä, ja commensurable suhde merkitsee suhdetta kaksi kokoelmaa erillisistä esineitä,” mutta Zeno totesi, että itse asiassa ” yleensä eivät ole erillisiä kokoelmia yksikköä; tämä on, miksi suhde incommensurable näy….uantiitit ovat siis jatkuvia.”Mitä tämä tarkoittaa, että, vastoin yleistä käsitystä ajasta, ei voi olla jakamaton, pienin mittayksikkö mikä tahansa määrä. Itse asiassa näiden määrän jakaumien täytyy olla äärettömiä., Esimerkiksi, harkita line segmentti: tämä segmentti voidaan jakaa kahtia, että puolet jaettu kahtia, toinen puoli, puoli, puoli, ja niin edelleen. Tämä prosessi voi jatkua äärettömästi,sillä aina on toinen puolikas jaettava. Mitä useammin segmentti puolittuu, sitä lähempänä mittayksikkö tulee nollaan, mutta se ei koskaan ylety täsmälleen nollaan. Tätä Zeno yritti todistaa. Hän pyrki todistamaan tämän muotoilemalla neljä paradoksia, jotka osoittivat ristiriidat luonnostaan matemaattinen ajatus aikaa., Vaikka Zenon paradoksit osoittivat täsmällisesti nykyisten matemaattisten käsitteiden puutteet, niitä ei pidetty todisteena vaihtoehdosta. Mielissä Kreikkalaiset, vääräksi pätevyyttä yksi näkemys ei välttämättä todistaa pätevyyden toinen, ja siksi lisätutkimuksia piti esiintyä.
seuraava askel oli ottanut Eudoxus ja Cnidus, joka virallistettiin uusi teoria osuus, joka otti huomioon commensurable sekä incommensurable määriä. Keskeinen hänen ajatuksensa oli magnitudin ja luvun välinen ero. Suuruus ”…,ei ollut numero, mutta se edusti kokonaisuuksia, kuten line segmentit, kulmat, alueet, volyymit, ja aika, joka voi vaihdella, kuten sanoisimme, jatkuvasti. Magnitudit vastustivat numeroita, jotka hyppäsivät arvosta toiseen 4: stä 5: een.”Luvut koostuvat jostakin pienimmästä, jakamattomasta yksiköstä, kun taas magnitudit ovat äärettömän pelkistettäviä. Koska mitään määrällisiä arvoja määrättiin suuruudet, Eudoxus oli sitten mahdollisuus huomioon sekä commensurable ja incommensurable tunnusluvut määrittelemällä suhde kannalta sen suuruus, ja suhteessa kuin tasa-kahden suhde., Ottamalla kvantitatiiviset arvot (numerot) pois yhtälöstä hän vältti ansan, jonka mukaan on ilmaistava irrationaalinen luku lukuna. ”Eudoxus’ teoria mahdollisti kreikan matemaatikot tehdä valtavaa edistystä geometria toimittamalla tarvittavat looginen perusta incommensurable tunnusluvut.”Tätä incommensurability käsitellään Eukleideen elementit, kirja X, propositio 9.
tuloksena toisistaan lukumäärä ja suuruus, geometria tuli ainoa menetelmä, joka voisi ottaa huomioon incommensurable tunnusluvut., Koska edellinen numeerinen perustukset olivat vielä ristiriidassa käsitteen incommensurability, kreikan painopiste siirtyi pois niiltä, numeerinen käsityksiä, kuten algebra ja keskittynyt lähes yksinomaan geometria. Itse asiassa, monissa tapauksissa algebrallinen käsitteiden uudistettiin geometrinen termejä. Tämä voi selittää sen, miksi me edelleen ajatella x2 ja x3 kuin x squared ja x cubed sijaan x toinen teho ja x kolmas voima., On myös tärkeää zenonin työskennellä incommensurable suuruus oli keskeinen painopiste on deduktiivinen päättely, joka johtui perustavaa järkyttävä aiemmin kreikka matematiikka. Oivallus, että jotkut perus käsitys nykyisen teoria oli ristiriidassa todellisuuden kanssa edellytti kattavan ja perusteellisen tutkimuksen aksioomat ja oletukset taustalla, että teoria. Tästä välttämättömyydestä Eudoxus kehitti uupumustapansa, eräänlaisen reductio ad absurdum that”…perusti deduktiivisen organisaation eksplisiittisten aksioomien perusteella…”sekä”…,vahvisti aikaisempaa päätöstä vedota deduktiiviseen todisteluun.”Tämä sammumismenetelmä on ensimmäinen askel laskennan luomisessa.
Theodorus Kyreneläinen osoittautunut järjettömyyden surds kokonaislukuja jopa 17, mutta pysäytti siellä luultavasti koska algebra hän käyttää ei voida soveltaa neliöjuuri 17.
vasta Eudoxus kehitti suhteellisuusteorian, jossa otettiin huomioon irrationaaliset sekä rationaaliset suhteet, syntyi vahva matemaattinen perustus irrationaaliluvuille.,
IndiaEdit
Geometrisia ja matemaattisia ongelmia, joihin irrationaalinen numerot, kuten neliön juuret käsiteltiin hyvin varhain aikana Vedic aikana Intiassa. On olemassa viittauksia tällaiset laskelmat Samhitas, Brahmanas, ja Shulba Sutrat (800 EAA. tai aiemmin). (KS. Bag, Indian Journal of History of Science, 25(1-4), 1990).
on esitetty, että intialaiset matemaatikot hyväksyivät irrationaalisuuden käsitteen implisiittisesti 700-luvulta eaa, jolloin Manava (c., 750-690 eaa) uskoi, että lukujen, kuten 2 ja 61, neliöjuuria ei voitu tarkalleen määrittää. Historioitsija Carl Benjamin Boyer kuitenkin kirjoittaa, että”tällaiset väitteet eivät ole hyvin perusteltuja eivätkä todennäköisesti pidä paikkaansa”.
Se on myös ehdotti, että Aryabhata (5. vuosisadalla JKR), laskettaessa arvo pi 5 merkittäviä lukuja, käytetään sanaa āsanna (lähestyy), tarkoittaa, että tämä ei ole vain likiarvo, mutta se arvo on incommensurable (tai järjetöntä).,
Myöhemmin, heidän tutkielmia, Intian matemaatikot kirjoitti aritmeettinen surds kuten yhteen -, vähennys -, kerto -, rationalisointi, sekä erottaminen ja uuttaminen neliön juuret.
Matemaatikot kuten Brahmagupta (vuonna 628 JKR.) ja Bhāskara I (629 AD) rahoitusosuudet tällä alueella samoin kuin muut matemaatikot jotka seurasivat. 1100-luvulla Bhāskara II arvioi joitakin näistä kaavoista ja kritisoi niitä tunnistaen niiden rajoitukset.,
Aikana 14. – 16-luvuilla, Madhava ja Sangamagrama ja Kerala koulun tähtitieteen ja matematiikan löysi ääretön sarja useita irrationaalinen numerot, kuten d ja tietyt irrationaalinen arvot trigonometriset funktiot. Jyeṣṭhadeva antoi todisteita näille loputtomille sarjoille Yuktibhāṣāssa.
Lähi-AgesEdit
keskiajalla, kehittäminen algebran Muslimi matemaatikot saa irrationaalinen numerot kohdellaan kuin algebrallinen esineitä., Lähi-Itä matemaatikot myös yhdistettiin käsitteet ”numero” ja ”suuruus” tulee enemmän yleinen käsitys todellinen numerot, kritisoi Eukleides on ajatus suhdeluvut, on kehitetty teoria composite suhteet, ja laajennettu käsite numero tunnusluvut jatkuva suuruus. Hänen kommentoidaan Kirja 10 Elementtejä, persialainen matemaatikko Al-Mahani (d. 874/884) tutkinut ja luokitellut asteen irrationals ja cubic irrationals. Hän antoi määritelmät järkevä ja järjetön suuruus, jonka hän rinnastaa irrationaalinen numerot., Hän käsitteli niitä vapaasti, mutta selittää niitä geometrinen ehdot seuraavasti:
”Se on järkevä (suuruus), kun me, esimerkiksi, sano 10, 12, 3%, 6%, jne., koska sen arvo lausutaan ja ilmaistaan kvantitatiivisesti. Se, mikä ei ole järkevää, on järjetöntä ja sen arvoa on mahdotonta lausua ja esittää kvantitatiivisesti. Esimerkiksi: juuret numeroita, kuten 10, 15, 20 jotka eivät ole neliöitä, puolin numeroita, jotka eivät ole kuutiot jne.,”
toisin kuin Eukleides on käsite suuruudet kuin linjat, Al-Mahani pitää kokonaislukuja ja jakeet, kuten järkevä suuruus, ja square juuret ja kuution juuret kuin irrationaalinen suuruudet. Hän esitteli myös matemaattista lähestymistapaa käsite järjettömyyden, kun hän määritteet seuraavat irrationaalinen suuruus:
”niiden summia tai eroja, tai tulokset niiden lisäksi järkevä suuruus, tai tulokset vähentämällä suuruus tällaista alkaen järjetön, tai järkevä suuruus siitä.,”
Egyptiläisen matemaatikko Abu Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850 – 930) oli ensimmäinen hyväksyä irrationaalinen numerot ratkaisuja asteen yhtälöt tai kertoimia yhtälön, usein muodossa neliöjuuret, kuutiojuuret ja neljäs juuret. Vuonna 10. vuosisadalla, Irakin matemaatikko Al-Hashimi yleisten todisteita (eikä geometrinen mielenosoituksia) irrationaalinen numerot, kun hän katsoi kerto -, jako, ja muita aritmeettisia toimintoja., Iranin matemaatikko, Abu Ja ’ far al-Khāzin (900-971) tarjoaa määritelmä rationaalinen ja irrationaalinen suuruudet, jossa todetaan, että jos täsmällistä määrää on:
”sisältämät tietty annettu suuruus kerran tai monta kertaa, niin tämä (koska) suuruus vastaa rationaaliluku. . . . Joka kerta kun tämä (jälkimmäinen) suuruus koostuu puoli, tai kolmannen, tai neljännes antanut suuruus (yksikkö), tai verrattuna (yksikkö), käsittää kolme, viisi tai kolme viidesosaa, se on järkevä suuruusluokka., Ja yleensä jokainen magnitudi, joka vastaa tätä magnitudia (eli yksikköä), yhtenä lukuna toiselle, on rationaalinen. Jos, kuitenkin, suuruus voi olla edustettuna useita, osa (1/n), tai osia (m/n) tietyn suuruus, se on irrationaalinen, eli se ei voi olla ilmaistuna muulla kuin juuret.”
Monet näistä käsitteistä oli lopulta hyväksynyt Euroopan matemaatikot joskus kun latina käännökset 12.vuosisadalla., Al-Hassār, Marokon matemaatikko Fez erikoistunut Islamilainen perintö, juridiikka aikana 12. luvulla, ensimmäinen mainitaan käyttö, murto-baari, jossa osoittajat ja nimittäjät ovat erotettu vaakasuora palkki. Keskustelussaan hän kirjoittaa,”… esimerkiksi, jos olet kertonut kirjoittaa kolme viidesosaa ja kolmas viidennen, kirjoittaa siten, 3 1 5 3 {\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}} .”Tämä sama murto-merkintä esiintyy pian Leonardo Fibonaccin työn jälkeen 1200-luvulla.,
Moderni periodEdit
17-luvulla näki, kuvitteellinen numerot tullut tehokas väline käsissä Abraham de Moivre, ja erityisesti Leonhard Euler. Loppuun teoria monimutkaisia numeroita 19th century merkitsi eriyttäminen irrationals osaksi algebrallinen ja transsendenttiluku numerot, todiste olemassaolosta transsendenttiluku numerot, ja elpyminen tieteellisen tutkimuksen teorian irrationals, suurelta osin huomiotta, koska Eukleides., Vuonna 1872 julkaistiin teorioita Karl Weierstrass (hänen oppilaansa Ernst Kossak), Eduard Heine (Crelle n Lehdessä, 74), Georg Cantor (Annalen, 5) ja Richard Dedekindin. Méray oli ottanut vuonna 1869 saman lähtökohdan kuin Heine, mutta teoriaan viitataan yleensä vuonna 1872. Weierstrass menetelmä on täysin esitetty Salvatore Pincherle vuonna 1880, ja Dedekindin on saanut lisää näkyvyyttä kautta tekijän myöhemmin työ (1888) ja merkintä Paul Nahkateollisuuden (1894)., Weierstrass, Cantor ja Heine perustavat teoriat ääretön sarja, kun Dedekindin loisi hänen ajatus leikata (Schnitt) järjestelmässä kaikki järkevä numerot, erottaa ne kahteen ryhmään, joilla on tiettyjä tunnusomaisia ominaisuuksia. Aihe on saanut myöhemmin maksut käsissä Weierstrass, Leopold Kronecker (Crelle, 101), ja Charles Méray.,
Jatkoi jakeet, jotka liittyvät läheisesti irrationaalinen numerot (ja koska Cataldi, 1613), sai huomiota käsissä Euler, ja avajaisissa 19. vuosisadan tuotiin esille läpi kirjoituksia Joseph-Louis Lagrange. Dirichlet ’ n myös lisätty yleinen teoria, kuten on lukuisia tukijoita sovelluksia aiheesta.
Johann Heinrich Lambert todisti (1761), että π ei voi olla rationaalinen, ja että en on irrationaalinen, jos n on rationaalinen (ellei N = 0)., Vaikka Lambertin todisteita kutsutaan usein puutteellisiksi, nykyaikaiset arviot tukevat sitä tyydyttävänä, ja itse asiassa sen aika on epätavallisen tiukka. Adrien-Marie Legendre (1794), käyttöönoton jälkeen Bessel–Clifford funktio, edellyttäen todiste osoittaa, että π2 on irrationaalinen, mistä seuraa välittömästi, että π on irrationaalinen myös. Transsendenttilukujen olemassaolon perusti ensimmäisen kerran Liouville (1844, 1851). Myöhemmin, Georg Cantor (1873) osoittanut niiden olemassaolon eri menetelmällä, joka osoitti, että jokainen aikaväli sisältää realia transsendenttiluku numerot., Charles Hermite (1873) ensimmäinen osoittautunut e transsendentaalinen, ja Ferdinand von Lindemannin (1882), alkaen Hermite päätelmät, osoitti, sama π. Lindemannin todistus oli paljon yksinkertaistettu, Weierstrass (1885), edelleen David Hilbert (1893), ja oli vihdoin tehty peruskoulun Adolf Hurwitz ja Paul Gordan.