Matemaattisesti, voimme todeta, että laki vastaa suojeluun jatkuvuus yhtälö:
∂ Q ∂ t = Q I N ( t ) − K O U T ( t ) . {\displaystyle {\frac {\partial K}{\partial t}}={\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {POIS}}(t).}
integroitu jatkuvuus yhtälö kahden aika-arvot lukee:
Q ( t 2 ) = Q ( t-1 ) + ∫ t 1 t 2 ( K I N ( t ) − K O U T ( t ) ) d t . {\displaystyle Q(t_{2})=Q(t_{1})+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {POIS}}(t)\right)\,\mathrm {d} t.,}
yleinen ratkaisu on saatu e, alkuperäinen kunto aika t 0 {\displaystyle t_{0}} , mikä integraaliyhtälö:
Q ( t ) = Q ( t 0 ) + ∫ t 0 t ( K I N ( τ ) − K O U T ( τ ) ) d τ . {\displaystyle Q(t)=Q(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {IN}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {POIS}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau ., ) ) d τ = 0 ∀ t > t 0 ⟹ K I N ( t ) = Q O U T ( t ) ∀ t > t 0 {\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {IN}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {POIS}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau =0\;\;\kaikille t>t_{0}\;\merkitsee \;{\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)={\dot {Q}}_{\rm {POIS}}(t)\;\;\kaikille t>t_{0}}
sähkömagneettinen kenttä-teoria, vector calculus voidaan käyttää ilmaisemaan lain kannalta vastaava tiheys ρ (vuonna mikrocoulombia per kuutiometri) ja sähkövirran tiheys J (ampeereina neliömetriä kohti)., Tätä kutsutaan varaustiheyden jatkuvuusyhtälöksi
ρ ρ ρ t + ⋅ J J = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}
vasemmalla oleva termi on varaustiheyden ρ muutosnopeus pisteessä. Oikealla oleva termi on virrantiheyden J eroavaisuus samassa pisteessä. Yhtälö vastaa näiden kahden tekijän, joka sanoo, että ainoa tapa maksu tiheys pisteessä, että muutos on, että nykyinen maksu virrata sisään tai ulos kohta. Lausuma vastaa nelivirtaisen säilyttämistä.,
Matemaattinen derivationEdit
netto osaksi tilavuus on
I = − ∬ S J ⋅ d S {\displaystyle I=-\iint \rajat _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S} }
, missä S = ∂V on raja V suuntautunut ulospäin osoittava normaalit, ja dS on lyhenne NdS, ulospäin osoittaen normaalin rajan ∂V Tässä J on virrantiheys (vastaa pinta-alayksikköä kohti yksikköä kohti aikaa) pinnan tilavuus. Vektori osoittaa virran suuntaan.,
Erot lause, tämä voidaan kirjoittaa
I = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) k V {\displaystyle I=-\iiint \rajat _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV}
Maksu säilyttäminen edellyttää, että net nykyinen tilavuuteen on välttämättä yhtä suuri netto muutos maksu sisällä määrä.,
d q d t = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) k V ( 1 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=-\iiint \rajat _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV\qquad \qquad (1)}
koko maksu q tilavuus V on olennainen (summa) maksu tiheys V
q = ∭ V ρ d V {\displaystyle q=\iiint \rajat _{V}\rho dV}
Niin, Leibnizin integraali-sääntöä.
d q d t = ∭ V ∂ ρ ∂ t d V ( 2 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=\iiint \rajat _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}dV\qquad \qquad \qquad \quad (2)}
Rinnastamalla (1) ja (2) antaa
0 = ∭ V ( ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J ) k V ., {\displaystyle 0=\iiint \rajat _{V}\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV.}
koska tämä pätee jokaiseen tilavuuteen, meillä on yleensä
ρ ρ t t + ⋅ ⋅ J = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}