Matematicamente, possiamo affermare la legge di conservazione della carica come equazione di continuità:
Q Q t t = Q I N ( t ) − Q O U T ( t ) . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}
L’equazione di continuità integrata tra due valori temporali recita:
Q ( t 2 ) = Q ( t 1 ) + ∫ t 1 t 2 ( Q I N ( t ) − Q O U T ( t ) ) d t . {\displaystyle Q(t_{2})=Q(t_{1})+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)\right)\,\mathrm {d} t.,}
La soluzione generale si ottiene fissando la condizione iniziale tempo t 0 {\displaystyle t_{0}} , portando all’equazione integrale:
Q ( t ) = Q ( t 0 ) + ∫ t 0 t ( Q I N ( τ ) − Q O U T ( τ ) ) d τ . {\displaystyle Q(t)=Q(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {IN}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau ., ) ) d τ = 0 ∀ t > t 0 ⟹ D I N ( t ) = Q O U T ( t ) ∀ t > t 0 {\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {IN}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau =0\;\;\forall t>t_{0}\;\comporta \;{\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)={\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)\;\;\forall t>t_{0}}
elettromagnetici, teoria dei campi, il calcolo vettoriale può essere utilizzato per esprimere la legge in termini di densità di carica ρ (in coulomb per metro cubo) e la densità di corrente elettrica J (in ampere per metro quadrato)., Questa è chiamata equazione di continuità della densità di carica
ρ ρ t t + J J = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \ rho } {\partial t}}+ \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = 0.}
Il termine a sinistra è la velocità di variazione della densità di carica ρ in un punto. Il termine a destra è la divergenza della densità di corrente J nello stesso punto. L’equazione equivale a questi due fattori, il che dice che l’unico modo per la densità di carica in un punto di cambiare è che una corrente di carica fluisca dentro o fuori dal punto. Questa affermazione è equivalente a una conservazione di quattro correnti.,
Matematica derivationEdit
L’attuale netto in un volume
I = − ∬ S J ⋅ d S {\displaystyle I=-\iint \limita _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S} }
dove S = ∂V è il limite di V orienta verso l’esterno-punta normali, e il dS è una scorciatoia per NdS, il verso l’esterno normale della frontiera ∂V. Qui J è la densità di corrente di carica per unità di superficie per unità di tempo) la superficie del volume. Il vettore punta nella direzione della corrente.,
Dal teorema della Divergenza questo può essere scritto
I = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) d V {\displaystyle I=-\iiint \limita _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV}
la conservazione della Carica richiede che la rete attuale in un volume deve necessariamente uguale alla variazione netta di carica all’interno del volume.,
d q d t = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) d V ( 1 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=-\iiint \limita _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV\qquad \qquad (1)}
carica totale q nel volume V è l’integrale (somma) la densità di carica in V
q = ∭ ρ V d V {\displaystyle q=\iiint \limita _{V}\rho dV}
Così, da Leibniz integrale regola
d q d t = ∭ V ∂ ρ ∂ t d V ( 2 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=\iiint \limita _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}dV\qquad \qquad \qquad \quad (2)}
Pari (1) e (2) dà
0 = ∭ V ( ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J ) d V ., {\displaystyle 0= \ iiint \ limits _{V} \ left ({\frac {\partial \ rho } {\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} \ right)dV.}
Poiché questo è vero per ogni volume, abbiamo in generale
ρ ρ t t + J J = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \ rho } {\partial t}}+ \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = 0.}