Numero irrazionale

Grecia AnticaEdit

La prima prova dell’esistenza di numeri irrazionali è di solito attribuita a un pitagorico (forse Ippaso di Metaponto), che probabilmente li scoprì identificando i lati del pentagramma.Il metodo pitagorico allora attuale avrebbe affermato che ci deve essere un’unità sufficientemente piccola e indivisibile che possa adattarsi uniformemente a una di queste lunghezze e all’altra., Tuttavia, Ippaso, nel v secolo AC, fu in grado di dedurre che in realtà non esisteva un’unità di misura comune e che l’affermazione di una tale esistenza era in realtà una contraddizione. Lo ha fatto dimostrando che se l’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele era effettivamente commensurabile con una gamba, allora una di quelle lunghezze misurate in quell’unità di misura deve essere sia dispari che pari, il che è impossibile. Il suo ragionamento è il seguente:

• Inizia con un triangolo rettangolo isoscele con lunghezze laterali di interi a, b e c. Il rapporto tra l’ipotenusa e una gamba è rappresentato da c:b.,
• Assumere a, b e c sono nei termini più piccoli possibili (cioè non hanno fattori comuni).
• Dal teorema di Pitagora: c2 = a2 + b2 = b2+b2 = 2b2. (Poiché il triangolo è isoscele, a = b).
• Poiché c2 = 2b2, c2 è divisibile per 2, e quindi anche.
• Poiché c2 è pari, c deve essere pari.
• Poiché c è pari, dividendo c per 2 si ottiene un numero intero. Sia y questo intero (c = 2y).
• La quadratura di entrambi i lati di c = 2y produce c2 = (2y)2 o c2 = 4y2.
• Sostituendo 4y2 per c2 nella prima equazione (c2 = 2b2) ci dà 4y2 = 2b2.,
• Dividendo per 2 si ottiene 2y2 = b2.
• Poiché y è un numero intero e 2y2 = b2, b2 è divisibile per 2 e quindi pari.
• Poiché b2 è pari, b deve essere pari.
• Abbiamo appena dimostrato che sia b che c devono essere pari. Quindi hanno un fattore comune di 2. Tuttavia ciò contraddice l’ipotesi che non abbiano fattori comuni. Questa contraddizione dimostra che c e b non possono essere entrambi interi, e quindi l’esistenza di un numero che non può essere espresso come un rapporto di due interi.,

I matematici greci definirono questo rapporto di grandezze incommensurabili alogos, o inesprimibili. Ippaso, tuttavia, non è stato lodato per i suoi sforzi: secondo una leggenda, ha fatto la sua scoperta, mentre fuori in mare, ed è stato successivamente gettato in mare dai suoi compagni Pitagorici “…per aver prodotto un elemento nell’universo che ha negato la dottrina…che tutti i fenomeni nell’universo può essere ridotto a numeri interi e loro rapporti.”Un’altra leggenda afferma che Ippaso fu semplicemente esiliato per questa rivelazione., Qualunque sia la conseguenza di Ippaso stesso, la sua scoperta ha posto un problema molto serio per Pitagora matematica, dal momento che in frantumi il presupposto che il numero e la geometria erano inseparabili–un fondamento della loro teoria.

La scoperta di rapporti incommensurabili era indicativa di un altro problema che affrontavano i greci: la relazione del discreto con il continuo. Questo è stato portato alla luce da Zenone di Elea, che ha messo in discussione la concezione che le quantità sono discreti e composto da un numero finito di unità di una data dimensione., Le concezioni greche del passato dettavano che dovevano necessariamente essere, poiché “i numeri interi rappresentano oggetti discreti, e un rapporto commensurabile rappresenta una relazione tra due raccolte di oggetti discreti”, ma Zenone scoprì che in realtà ” in generale non sono raccolte discrete di unità; questo è il motivo per cui appaiono rapporti di incommensurabili….le quantità sono, in altre parole, continue.”Ciò significa che, contrariamente alla concezione popolare del tempo, non ci può essere un’unità di misura più piccola e indivisibile per qualsiasi quantità. Che in realtà, queste divisioni di quantità devono necessariamente essere infinite., Ad esempio, considera un segmento di linea: questo segmento può essere diviso a metà, quella metà divisa a metà, la metà della metà a metà e così via. Questo processo può continuare all’infinito, perché c’è sempre un’altra metà da dividere. Più volte il segmento viene dimezzato, più l’unità di misura arriva a zero, ma non raggiunge mai esattamente lo zero. Questo è proprio ciò che Zeno ha cercato di dimostrare. Cercò di dimostrarlo formulando quattro paradossi, che dimostravano le contraddizioni insite nel pensiero matematico del tempo., Mentre i paradossi di Zenone dimostrarono accuratamente le carenze delle attuali concezioni matematiche, non furono considerati come prova dell’alternativa. Nella mente dei greci, confutare la validità di una visione non provava necessariamente la validità di un’altra, e quindi dovevano verificarsi ulteriori indagini.

Il passo successivo fu preso da Eudosso di Cnido, che formalizzò una nuova teoria della proporzione che teneva conto delle quantità commensurabili e incommensurabili. Centrale per la sua idea era la distinzione tra grandezza e numero. Grandezza “…,non era un numero, ma rappresentava entità come segmenti di linea, angoli, aree, volumi e tempo che potevano variare, come diremmo, continuamente. Le grandezze erano opposte ai numeri, che saltavano da un valore all’altro, come da 4 a 5.”I numeri sono composti da un’unità più piccola e indivisibile, mentre le grandezze sono infinitamente riducibili. Poiché non sono stati assegnati valori quantitativi alle grandezze, Eudoxus è stato quindi in grado di tenere conto di entrambi i rapporti commensurabili e incommensurabili definendo un rapporto in termini di grandezza e proporzione come uguaglianza tra due rapporti., Prendendo valori quantitativi (numeri) dall’equazione, evitò la trappola di dover esprimere un numero irrazionale come un numero. “La teoria di Eudosso ha permesso ai matematici greci di fare enormi progressi nella geometria fornendo le basi logiche necessarie per rapporti incommensurabili.”Questa incommensurabilità è trattata negli elementi di Euclide, Libro X, Proposizione 9.

Come risultato della distinzione tra numero e grandezza, la geometria è diventata l’unico metodo che potrebbe prendere in considerazione rapporti incommensurabili., Poiché le precedenti basi numeriche erano ancora incompatibili con il concetto di incommensurabilità, l’attenzione greca si spostò da quelle concezioni numeriche come l’algebra e si concentrò quasi esclusivamente sulla geometria. Infatti, in molti casi le concezioni algebriche sono state riformulate in termini geometrici. Questo potrebbe spiegare perché concepiamo ancora x2 e x3 come x al quadrato e x al cubo invece di x alla seconda potenza e x alla terza potenza., Anche cruciale per il lavoro di Zenone con grandezze incommensurabili è stato il focus fondamentale sul ragionamento deduttivo che ha provocato la frantumazione fondamentale della matematica greca precedente. La consapevolezza che una concezione di base all’interno della teoria esistente era in contrasto con la realtà richiedeva un’indagine completa e approfondita degli assiomi e delle ipotesi che sono alla base di quella teoria. Da questa necessità, Eudosso sviluppò il suo metodo di esaurimento, una sorta di reductio ad absurdum che”…stabilito l’organizzazione deduttiva sulla base di assiomi espliciti…”così come”…,rafforzato la precedente decisione di fare affidamento sul ragionamento deduttivo per la prova.”Questo metodo di esaurimento è il primo passo nella creazione del calcolo.

Teodoro di Cirene dimostrò l’irrazionalità dei surds di numeri interi fino a 17, ma si fermò lì probabilmente perché l’algebra che usava non poteva essere applicata alla radice quadrata di 17.

Non è stato fino a quando Eudosso sviluppato una teoria della proporzione che ha preso in considerazione irrazionale così come rapporti razionali che un forte fondamento matematico di numeri irrazionali è stato creato.,

IndiaEdit

Problemi geometrici e matematici che coinvolgono numeri irrazionali come radici quadrate sono stati affrontati molto presto durante il periodo vedico in India. Ci sono riferimenti a tali calcoli nei Samhitas, nei Brahmana e negli Shulba Sutra (800 AC o precedenti). (Vedi Bag, Indian Journal of History of Science, 25 (1-4), 1990).

Si suggerisce che il concetto di irrazionalità è stato implicitamente accettato dai matematici indiani dal 7 ° secolo AC, quando Manava (c., 750-690 AC) riteneva che le radici quadrate di numeri come 2 e 61 non potessero essere determinate esattamente. Tuttavia, lo storico Carl Benjamin Boyer scrive che “tali affermazioni non sono ben motivate e improbabile che siano vere”.

Si suggerisce anche che Aryabhata (v secolo DC), nel calcolare un valore di pi a 5 figure significative, usasse la parola āsanna (avvicinarsi), per significare che non solo questa è un’approssimazione, ma che il valore è incommensurabile (o irrazionale).,

Più tardi, nei loro trattati, i matematici indiani hanno scritto sull’aritmetica dei surds tra cui addizione, sottrazione, moltiplicazione, razionalizzazione, nonché separazione ed estrazione di radici quadrate.

Matematici come Brahmagupta (nel 628 DC) e Bhāskara I (nel 629 DC) ha dato contributi in questo settore, come ha fatto altri matematici che hanno seguito. Nel xii secolo Bhāskara II valutò alcune di queste formule e le criticò, identificandone i limiti.,

Durante il 14 ° al 16 ° secolo, Madhava di Sangamagrama e la scuola di astronomia e matematica del Kerala ha scoperto la serie infinita per diversi numeri irrazionali come π e alcuni valori irrazionali delle funzioni trigonometriche. Jyeṣṭhadeva fornito prove per queste serie infinite nel Yuktibhāṣā.

Medioevo

Nel Medioevo, lo sviluppo dell’algebra da parte dei matematici musulmani consentiva ai numeri irrazionali di essere trattati come oggetti algebrici., I matematici mediorientali fondevano anche i concetti di “numero” e “grandezza” in un’idea più generale dei numeri reali, criticavano l’idea di Euclide dei rapporti, sviluppavano la teoria dei rapporti compositi ed estendevano il concetto di numero a rapporti di grandezza continua. Nel suo commento al Libro 10 degli Elementi, il matematico persiano Al-Mahani (morto 874/884) esaminò e classificò gli irrazionali quadratici e gli irrazionali cubici. Ha fornito definizioni per le grandezze razionali e irrazionali, che ha trattato come numeri irrazionali., Li ha trattati liberamente ma li spiega in termini geometrici come segue:

” Sarà una (grandezza) razionale quando, ad esempio, diciamo 10, 12, 3%, 6%, ecc., perché il suo valore è pronunciato ed espresso quantitativamente. Ciò che non è razionale è irrazionale ed è impossibile pronunciare e rappresentare il suo valore quantitativamente. Ad esempio: le radici di numeri come 10, 15, 20 che non sono quadrati, i lati dei numeri che non sono cubi ecc.,”

In contrasto con il concetto di Euclide di magnitudini come linee, Al-Mahani considerava interi e frazioni come grandezze razionali, e radici quadrate e radici cubiche come grandezze irrazionali. Ha anche introdotto un approccio aritmetico al concetto di irrazionalità, poiché attribuisce quanto segue alle grandezze irrazionali:

“le loro somme o differenze, o risultati della loro aggiunta a una grandezza razionale, o risultati della sottrazione di una grandezza di questo tipo da una irrazionale, o di una grandezza razionale da essa.,

Il matematico egiziano Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850 – 930) fu il primo ad accettare i numeri irrazionali come soluzioni di equazioni di secondo grado o come coefficienti in un’equazione, spesso sotto forma di radici quadrate, radici cubiche e radici quarte. Nel x secolo, il matematico iracheno Al-Hashimi fornì prove generali (piuttosto che dimostrazioni geometriche) per i numeri irrazionali, poiché considerava la moltiplicazione, la divisione e altre funzioni aritmetiche., Il matematico iraniano Abū Ja’far al-Khāzin (900-971) fornisce una definizione di grandezze razionali e irrazionali, affermando che se una quantità definita è:

“contenuta in una certa grandezza data una o più volte, allora questa (data) grandezza corrisponde a un numero razionale. . . . Ogni volta che questa (ultima) grandezza comprende una metà, o un terzo, o un quarto della grandezza data (dell’unità), o, rispetto a (l’unità), comprende tre, cinque o tre quinti, è una grandezza razionale., E, in generale, ogni grandezza che corrisponde a questa grandezza (cioè all’unità), come un numero all’altro, è razionale. Se, tuttavia, una grandezza non può essere rappresentata come un multiplo, una parte (1/n) o parti (m/n) di una data grandezza, è irrazionale, cioè non può essere espressa se non per mezzo di radici.”

Molti di questi concetti furono alla fine accettati dai matematici europei qualche tempo dopo le traduzioni latine del xii secolo., Al-Hassār, un matematico marocchino di Fez specializzato in giurisprudenza sull’eredità islamica durante il 12 ° secolo, menziona per la prima volta l’uso di una barra frazionaria, dove numeratori e denominatori sono separati da una barra orizzontale. Nella sua discussione egli scrive,”… ad esempio, se ti viene detto di scrivere tre quinti e un terzo di un quinto, scrivi così, 3 1 5 3 {\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}} .”Questa stessa notazione frazionaria appare subito dopo nel lavoro di Leonardo Fibonacci nel 13 ° secolo.,

Periodo modernomodifica

Il xvii secolo vide i numeri immaginari diventare un potente strumento nelle mani di Abraham de Moivre, e in particolare di Leonhard Euler. Il completamento della teoria dei numeri complessi nel 19 ° secolo ha comportato la differenziazione degli irrazionali in numeri algebrici e trascendentali, la prova dell’esistenza dei numeri trascendentali e la rinascita dello studio scientifico della teoria degli irrazionali, in gran parte ignorata da Euclide., L’anno 1872 ha visto la pubblicazione delle teorie di Karl Weierstrass (dal suo allievo Ernst Kossak), Eduard Heine (Crelle Journal, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), e Richard Dedekind. Méray aveva preso nel 1869 lo stesso punto di partenza come Heine, ma la teoria è generalmente riferito all’anno 1872. Il metodo di Weierstrass è stato completamente esposto da Salvatore Pincherle nel 1880, e Dedekind ha ricevuto ulteriore risalto attraverso il lavoro successivo dell’autore (1888) e l’approvazione di Paul Tannery (1894)., Weierstrass, Cantor e Heine basano le loro teorie sulle serie infinite, mentre Dedekind fonda la sua sull’idea di un taglio (Schnitt) nel sistema di tutti i numeri razionali, separandoli in due gruppi con determinate proprietà caratteristiche. Il soggetto ha ricevuto contributi successivi per mano di Weierstrass, Leopold Kronecker (Crelle, 101), e Charles Méray.,

Le frazioni continue, strettamente correlate ai numeri irrazionali (e dovute a Cataldi, 1613), ricevettero attenzione per mano di Eulero, e all’apertura del 19 ° secolo furono messe in risalto attraverso gli scritti di Joseph-Louis Lagrange. Dirichlet ha anche aggiunto alla teoria generale, come hanno numerosi contributori alle applicazioni del soggetto.

Johann Heinrich Lambert dimostrò (1761) che π non può essere razionale, e che en è irrazionale se n è razionale (a meno che n = 0)., Mentre la prova di Lambert è spesso chiamata incompleta, le valutazioni moderne la supportano come soddisfacente, e in effetti per il suo tempo è insolitamente rigorosa. Adrien-Marie Legendre (1794), dopo aver introdotto la funzione di Bessel–Clifford, ha fornito una prova per dimostrare che π2 è irrazionale, da cui segue immediatamente che π è irrazionale anche. L’esistenza dei numeri trascendentali fu stabilita per la prima volta da Liouville (1844, 1851). Più tardi, Georg Cantor (1873) ha dimostrato la loro esistenza con un metodo diverso, che ha dimostrato che ogni intervallo nei reali contiene numeri trascendentali., Charles Hermite (1873) prima dimostrato e trascendentale, e Ferdinand von Lindemann (1882), a partire dalle conclusioni di Hermite, ha mostrato lo stesso per π. La prova di Lindemann fu molto semplificata da Weierstrass (1885), ancora ulteriormente da David Hilbert (1893), e fu infine resa elementare da Adolf Hurwitz e Paul Gordan.