wiskundig kunnen we de wet van charge conservation als een continuïteitvergelijking stellen:
∂ Q ∂ t = Q I N ( t ) − Q O U T ( t ) . {\displaystyle {\frac {\partial Q} {\partial t}}={\dot {Q}}_{\RM {IN}} (t) – {\dot {Q}}_{\RM {OUT}}(T).}
De geïntegreerde continuïteitsvergelijking tussen twee tijdwaarden luidt:
Q ( T 2) = Q ( t 1) + ∫ t 1 t 2 ( Q I N ( T) − Q O U T ( t)) d t . {\displaystyle Q (t_{2}) = Q(t_{1})+\int _{T_{1}}^{t_{2}}\left({\dot {Q}}_{\RM {IN}}(t)-{\dot {Q}}_{\RM {OUT}}(t)\right)\,\mathrm {d} t.,}
de algemene oplossing wordt verkregen door de beginvoorwaarde t 0 {\displaystyle t_{0}} vast te stellen , wat leidt tot de integrale vergelijking:
Q ( t ) = Q ( T 0 ) + ∫ t 0 t ( Q I N ( τ ) − Q O U T ( τ ) ) D τ . {\displaystyle Q (T)=Q(t_{0})+\int _{T_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\RM {IN}}(\tau)- {\dot {Q}}_{\RM {OUT}}(\tau) \right)\,\mathrm {d} \Tau ., ) ) d τ = 0 ∀ t > t 0 ⟹ Q I N ( t ) = Q O U T – ( t ) ∀ t > t 0 {\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {IN}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {UIT}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau =0\;\;\forall t>t_{0}\;\impliceert \;{\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)={\dot {Q}}_{\rm {UIT}}(t)\;\;\forall t>t_{0}}
In de elektromagnetische theorie van het gebied, vector calculus kan worden gebruikt voor het uitdrukken van de wet in termen van kosten dichtheid van ρ (in coulomb per kubieke meter) en elektrische stroomdichtheid J (in ampère per vierkante meter)., Dit wordt de continuïteitsvergelijking
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 genoemd. {\displaystyle {\frac {\partial \ rho } {\partial t}}+ \ nabla \cdot \ mathbf {J} = 0.}
De term links is de mate van verandering van de ladingsdichtheid ρ op een punt. De term rechts is de divergentie van de huidige dichtheid J op hetzelfde punt. De vergelijking stelt deze twee factoren gelijk, die zegt dat de enige manier voor de ladingsdichtheid op een punt om te veranderen is voor een stroom van lading te stromen in of uit het punt. Deze verklaring is gelijk aan een behoud van vier-stroom.,
mathematische derivatiedit
De nettostroom in een volume is
I = − ∬ S J ⋅ d s {\displaystyle I=-\iint \limits _{s}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S} }
waarbij S = ∂V de grens is van V georiënteerd door naar buiten gerichte normalen, en dS is steno voor NdS, de naar buiten gerichte normaalwaarde van de grens ∂V. Hier is J de stroomdichtheid (lading per oppervlakte-eenheid per tijdseenheid) aan het oppervlak van het volume. De vector wijst in de richting van de stroom.,
uit de Divergentiestelling kan dit worden geschreven
I = − V V (∇ ⋅J ) D V {\displaystyle I=-\iiint \limits _{v}\left(\nabla \cdot \mathbf {j} \right)DV}
ladingbehoud vereist dat de nettostroom in een volume noodzakelijkerwijs gelijk moet zijn aan de netto verandering in lading binnen het volume.,
d q d t = − ∭ V ( ∇ ⋅ J ) d V ( 1 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=-\iiint \grenzen _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV\qquad \qquad (1)}
De totale lading q in volume V is de integrale (som) van de lading is de dichtheid in V
q = ∭ V ρ d V {\displaystyle q=\iiint \grenzen _{V}\rho dV}
Dus, door de Leibniz integraal regel
d q d t = ∭ V ∂ ρ ∂ t d V ( 2 ) {\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=\iiint \grenzen _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}dV\qquad \qquad \qquad \quad (2)}
het Gelijkstellen van (1) en (2) geeft
0 = ∭ V ( ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J ) d V ., {\displaystyle 0= \ iiint \ limits _{V} \ left ({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV.}
aangezien dit voor elk volume geldt, hebben we in het algemeen
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \ rho } {\partial t}}+ \ nabla \cdot \ mathbf {J} = 0.}