Oud Griekenlanddit
het eerste bewijs van het bestaan van irrationele getallen wordt meestal toegeschreven aan een Pythagoras (mogelijk Hippasus van Metapontum), die ze waarschijnlijk ontdekte tijdens het identificeren van zijden van het pentagram.De toen geldende Pythagorese methode zou hebben beweerd dat er een voldoende kleine, ondeelbare eenheid moet zijn die gelijkmatig in een van deze lengtes en de andere kan passen., Hippasus kon echter in de 5e eeuw v.Chr. afleiden dat er in feite geen gemeenschappelijke maateenheid was, en dat de bewering van een dergelijk bestaan in feite een tegenstrijdigheid was. Hij deed dit door aan te tonen dat als de hypotenusa van een gelijkbenige rechthoekige driehoek inderdaad commensurable was met een been, dan moet een van die lengtes gemeten in die maateenheid zowel oneven als even zijn, wat onmogelijk is. Zijn redenering is als volgt:
- begin met een gelijkbenige rechthoekige driehoek met zijlengtes van gehele getallen a, b en c. de verhouding van de hypotenusa tot een been wordt weergegeven door c: b.,
- neem aan dat a, b en c in de kleinst mogelijke termen zijn (d.w.z. dat ze geen gemeenschappelijke factoren hebben).
- door de stelling van Pythagoras: c2 = a2 + b2 = b2+b2 = 2b2. (Aangezien de driehoek gelijkbenig is, a = b).
- sinds c2 = 2b2 is c2 deelbaar door 2, en dus zelfs.
- aangezien c2 even is, moet c even zijn.
- omdat c even is, geeft het delen van c door 2 een geheel getal. Zij y dit geheel getal (c = 2y).
- kwadratuur van beide zijden van c = 2y geeft c2 = (2y)2, of c2 = 4y2.
- het vervangen van c2 door 4y2 in de eerste vergelijking (c2 = 2b2) geeft ons 4y2= 2b2.,
- delen door 2 geeft 2y2 = b2.
- aangezien y een geheel getal is, en 2y2 = b2, is b2 deelbaar door 2, en dus zelfs.
- aangezien b2 even is, moet b even zijn.
- we hebben zojuist aangetoond dat zowel b als c gelijk moeten zijn. Daarom hebben ze een gemeenschappelijke factor van 2. Dit is echter in tegenspraak met de veronderstelling dat ze geen gemeenschappelijke factoren hebben. Deze tegenstelling bewijst dat c en b niet beide gehele getallen kunnen zijn, en dus het bestaan van een getal dat niet kan worden uitgedrukt als een verhouding van twee gehele getallen.,
Griekse wiskundigen noemden deze verhouding van incommensureerbare magnituden alogos, of onuitsprekelijk. Hippasus, echter, werd niet geprezen voor zijn inspanningen: volgens een legende, hij deed zijn ontdekking terwijl op zee, en werd vervolgens overboord gegooid door zijn collega Pythagoreans ” … voor het produceren van een element in het universum die ontkende de…doctrine dat alle verschijnselen in het universum kan worden gereduceerd tot hele getallen en hun verhoudingen. Een andere legende zegt dat Hippasus alleen maar verbannen was voor deze openbaring., Wat ook de gevolgen voor Hippasus zelf waren, zijn ontdekking vormde een zeer ernstig probleem voor de Pythagorese wiskunde, omdat het de aanname verbrijzelde dat getal en meetkunde onafscheidelijk waren–een fundament van hun theorie.
De ontdekking van incommensureerbare verhoudingen was indicatief voor een ander probleem waarmee de Grieken werden geconfronteerd: de relatie van het discrete tot het continue. Dit werd aan het licht gebracht door Zeno van Elea, die vraagtekens zette bij de opvatting dat grootheden discreet zijn en bestaan uit een eindig aantal eenheden van een bepaalde grootte., Oude Griekse opvattingen dicteerden dat ze noodzakelijkerwijs moeten zijn, want “hele getallen vertegenwoordigen discrete objecten, en een commensurable ratio vertegenwoordigt een relatie tussen twee collecties van discrete objecten,” maar Zeno vond dat in feite ” in het algemeen geen discrete collecties van eenheden zijn; dit is de reden waarom verhoudingen van incommensurable verschijnen….uantities zijn, met andere woorden, continu.”Wat dit betekent is dat er, in tegenstelling tot de populaire opvatting van de tijd, geen ondeelbare, kleinste maateenheid kan zijn voor welke hoeveelheid dan ook. Dat in feite deze verdelingen van kwantiteit noodzakelijkerwijs oneindig moeten zijn., Denk bijvoorbeeld aan een lijnsegment: dit segment kan in tweeën worden gesplitst, die helft in tweeën worden gesplitst, de helft van de helft in tweeën, enzovoort. Dit proces kan oneindig doorgaan, want er is altijd een andere helft te splitsen. Hoe vaker het segment wordt gehalveerd, hoe dichter de maateenheid op nul komt, maar nooit precies op nul komt. Dit is precies wat Zeno wilde bewijzen. Hij probeerde dit te bewijzen door vier paradoxen te formuleren, die de tegenstrijdigheden aantoonden die inherent zijn aan het wiskundige denken van de tijd., Hoewel Zeno ‘ s paradoxen nauwkeurig de tekortkomingen van de huidige wiskundige concepten aantoonden, werden ze niet beschouwd als bewijs van het alternatief. In de gedachten van de Grieken was het weerleggen van de geldigheid van de ene opvatting niet noodzakelijk het bewijs van de geldigheid van een andere, en daarom moest verder onderzoek plaatsvinden.
de volgende stap werd gezet door Eudoxus van Cnidus, die een nieuwe theorie van proportie formaliseerde die rekening hield met zowel commensurable als incommensurable hoeveelheden. Centraal in zijn idee stond het onderscheid tussen grootte en aantal. Omvang “…,was niet een nummer, maar stond voor entiteiten zoals lijnsegmenten, hoeken, gebieden, volumes en tijd die kunnen variëren, zoals we zouden zeggen, continu. Magnitudes waren in tegenstelling tot getallen, die van de ene waarde naar de andere sprong, van 4 naar 5.”Getallen zijn samengesteld uit een kleinste, ondeelbare eenheid, terwijl magnitudes oneindig reduceerbaar zijn. Omdat er geen kwantitatieve waarden werden toegekend aan groottes, was Eudoxus vervolgens in staat om zowel commensurable als incommensurable ratio ’s te verklaren door een ratio te definiëren in termen van grootte, en proportie als een gelijkheid tussen twee ratio’ s., Door kwantitatieve waarden (getallen) uit de vergelijking te halen, vermeed hij de val van het hebben van een irrationeel getal uit te drukken als een getal. “Eudoxus’ theorie stelde de Griekse wiskundigen in staat om enorme vooruitgang te boeken in de meetkunde door het leveren van de noodzakelijke logische basis voor incommensureerbare verhoudingen.”Deze incommensurabiliteit wordt behandeld in Euclides’ elementen, Boek X, stelling 9.
als gevolg van het onderscheid tussen getal en magnitude werd geometrie de enige methode die rekening kon houden met incommensureerbare verhoudingen., Omdat eerdere numerieke grondslagen nog steeds onverenigbaar waren met het concept van incommensurabiliteit, verschoof de Griekse focus van die numerieke begrippen zoals algebra en richtte zich bijna uitsluitend op de meetkunde. In feite werden in veel gevallen algebraïsche begrippen geherformuleerd in meetkundige termen. Dit kan verklaren waarom we x2 en x3 nog steeds beschouwen als x kwadraat en X tot de kubus in plaats van x tot de tweede macht en x tot de derde macht., Ook cruciaal voor Zeno ‘ s werk met incommensurable magnitudes was de fundamentele focus op deductieve redenering die het gevolg was van de fundamentele verbrijzeling van eerdere Griekse wiskunde. Het besef dat een of andere basisconceptie binnen de bestaande theorie in strijd was met de werkelijkheid, maakte een compleet en grondig onderzoek noodzakelijk van de axioma ‘ s en veronderstellingen die ten grondslag liggen aan die theorie. Vanuit deze noodzaak ontwikkelde Eudoxus zijn methode van uitputting, een soort reductio ad absurdum dat”…stelde de deductieve organisatie op basis van expliciete axioma ‘ s…”net als “…,de eerdere beslissing om voor het bewijs op deductieve redenering te vertrouwen, werd versterkt.”Deze methode van uitputting is de eerste stap in de creatie van calculus.
Theodorus van Cyrene bewees de irrationaliteit van de surds van gehele getallen tot 17, maar stopte daar waarschijnlijk omdat de algebra die hij gebruikte niet kon worden toegepast op de vierkantswortel van 17.
pas toen Eudoxus een theorie van proportie ontwikkelde die zowel irrationele als rationale verhoudingen in aanmerking nam, werd een sterke wiskundige basis van irrationele getallen gecreëerd.,
IndiaEdit
geometrische en wiskundige problemen met irrationele getallen zoals vierkantswortels werden al heel vroeg behandeld tijdens de Vedische periode in India. Er zijn verwijzingen naar dergelijke berekeningen in de Samhitas, Brahmanas, en de Shulba Sutras (800 v.Chr. of eerder). (Zie Bag, Indian Journal of History of Science, 25 (1-4), 1990).
Er wordt gesuggereerd dat het concept van irrationaliteit impliciet werd geaccepteerd door Indiase wiskundigen sinds de 7e eeuw voor Christus, toen Manava (CA., 750-690 v. Chr.) geloofden dat de vierkantswortels van getallen als 2 en 61 niet precies konden worden bepaald. Historicus Carl Benjamin Boyer schrijft echter dat “dergelijke beweringen niet goed onderbouwd zijn en waarschijnlijk niet waar zijn”.
Er wordt ook gesuggereerd dat Aryabhata (5e eeuw n. Chr.), bij het berekenen van een waarde van pi tot 5 significante cijfers, het woord āsanna (naderen) gebruikte, om te betekenen dat dit niet alleen een benadering is, maar dat de waarde oncommensurabel (of irrationeel) is.,
later, in hun verhandelingen, schreven Indiase wiskundigen over de rekenkunde van surds met inbegrip van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, rationalisatie, evenals scheiding en extractie van vierkantswortels.
wiskundigen zoals Brahmagupta (in 628 na Christus) en Bhāskara I (in 629 na Christus) leverden bijdragen op dit gebied, net als andere wiskundigen die volgden. In de 12e eeuw evalueerde Bhāskara II een aantal van deze formules en bekritiseerde ze, waarbij ze hun beperkingen identificeerden.,tijdens de 14e tot 16de eeuw ontdekten Madhava van Sangamagrama en de Kerala school of astronomy and mathematics de oneindige reeks voor verschillende irrationele getallen zoals π en bepaalde irrationele waarden van trigonometrische functies. Jyeṣṭhadeva leverde bewijzen voor deze oneindige reeks in de Yuktibhāṣā.
Middle AgesEdit
in de middeleeuwen stond de ontwikkeling van Algebra door Moslimwiskundigen toe om irrationele getallen te behandelen als algebraïsche objecten., Wiskundigen uit het Midden-Oosten versmolten ook de begrippen “getal” en “magnitude” tot een meer algemeen idee van reële getallen, bekritiseerden Euclides idee van Ratio ‘s, ontwikkelden de theorie van samengestelde ratio’ s en breidden het concept van getal uit tot ratio ‘ s van continue magnitude. In zijn commentaar op Boek 10 van de elementen onderzocht en classificeerde de Perzische wiskundige Al-Mahani (†874/884) kwadratische irrationalen en kubieke irrationalen. Hij gaf definities voor rationele en irrationele grootheden, die hij behandelde als irrationele getallen., Hij behandelde ze vrij, maar verklaart ze in geometrische termen als volgt:
“Het zal een rationale (magnitude) zijn wanneer we bijvoorbeeld zeggen 10, 12, 3%, 6%, enz., omdat de waarde wordt uitgesproken en kwantitatief uitgedrukt. Wat niet rationeel is, is irrationeel en het is onmogelijk om de waarde ervan kwantitatief uit te spreken en weer te geven. Bijvoorbeeld: de wortels van getallen zoals 10, 15, 20 die geen vierkantjes zijn, de zijden van getallen die geen kubussen zijn enz.,”
In tegenstelling tot Euclides ‘ concept van magnituden als lijnen, beschouwde al-Mahani gehele getallen en breuken als rationele magnituden, en vierkantswortels en kubuswortels als irrationele magnituden. Hij introduceerde ook een rekenkundige benadering van het begrip irrationaliteit, omdat hij het volgende aan irrationele magnitudes toeschrijft:
“hun sommen of verschillen, of resultaten van hun toevoeging aan een rationele magnitude, of resultaten van het aftrekken van een dergelijke magnitude van een irrationele magnitude, of van een rationele magnitude ervan.,”
De Egyptische wiskundige Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (CA. 850 – 930) was de eerste die irrationele getallen accepteerde als oplossingen voor kwadratische vergelijkingen of als coëfficiënten in een vergelijking, vaak in de vorm van vierkantswortels, kubuswortels en vierde wortels. In de 10e eeuw leverde de Irakese wiskundige Al-Hashimi algemene bewijzen (in plaats van meetkundige demonstraties) voor irrationele getallen, zoals hij vermenigvuldiging, deling en andere rekenkundige functies beschouwde., De Iraanse wiskundige Abū Ja ‘ far al-Khāzin (900-971) geeft een definitie van rationele en irrationele magnitudes, waarin staat dat als een bepaalde hoeveelheid:
“bevat in een bepaalde gegeven magnitude een of vele malen, dan komt deze (gegeven) magnitude overeen met een rationeel getal. . . . Elke keer dat deze (laatste) magnitude een halve, of een derde, of een kwart van de gegeven magnitude (van de eenheid), of, vergeleken met (de eenheid), drie, vijf of drie vijfde omvat, is het een rationele magnitude., En, in het algemeen, elke magnitude die overeenkomt met deze magnitude (dat wil zeggen de eenheid), als een getal naar een ander, is rationeel. Als echter een magnitude niet kan worden weergegeven als een veelvoud, een deel (1 / n), of delen (m/n) van een bepaalde magnitude, is het irrationeel, dat wil zeggen dat het niet anders kan worden uitgedrukt dan door middel van wortels.”
veel van deze concepten werden uiteindelijk geaccepteerd door Europese wiskundigen enige tijd na de Latijnse vertalingen van de 12e eeuw., Al-Hassār, een Marokkaanse wiskundige uit Fez die gespecialiseerd is in de Islamitische erfrechtspraak in de 12e eeuw, noemt voor het eerst het gebruik van een fractionele balk, waar tellers en noemers worden gescheiden door een horizontale balk. In zijn discussie schrijft hij:”… als je bijvoorbeeld verteld wordt om drie vijfde en een derde van een vijfde te schrijven, schrijf dan 3 1 5 3 {\displaystyle {\frac {3 \ quad 1}{5 \ quad 3}}}.”Deze zelfde fractionele notatie verschijnt kort daarna in het werk van Leonardo Fibonacci in de 13e eeuw.,in de 17e eeuw werden imaginaire getallen een krachtig werktuig in handen van Abraham de Moivre, en in het bijzonder van Leonhard Euler. De voltooiing van de theorie van complexe getallen in de 19e eeuw bracht de differentiatie van irrationalen in algebraïsche en transcendentale getallen, het bewijs van het bestaan van transcendentale getallen en de heropleving van de wetenschappelijke studie van de theorie van irrationalen, grotendeels genegeerd sinds Euclides., In 1872 verschenen de theorieën van Karl Weierstrass (door zijn leerling Ernst Kossak), Eduard Heine (Crelle ‘ s Journal, 74), Georg Cantor (Annalen, 5) en Richard Dedekind. Méray had in 1869 hetzelfde uitgangspunt genomen als Heine, maar de theorie wordt over het algemeen verwezen naar het jaar 1872. Weierstrass ‘methode is volledig uiteengezet door Salvatore Pincherle in 1880, en Dedekind’ s heeft extra bekendheid gekregen door het latere werk van de auteur (1888) en de goedkeuring door Paul Tannery (1894)., Weierstrass, Cantor en Heine baseren hun theorieën op oneindige reeksen, terwijl Dedekind zijn theorie baseert op het idee van een snede (Schnitt) in het systeem van alle rationele getallen, waardoor ze worden gescheiden in twee groepen met bepaalde karakteristieke eigenschappen. Het onderwerp heeft later bijdragen ontvangen van Weierstrass, Leopold Kronecker (Crelle, 101) en Charles Méray.,
Vervolgfracties, nauw verwant aan irrationele getallen (en door Cataldi, 1613), kregen de aandacht van Euler en werden bij de opening van de 19e eeuw op de voorgrond geplaatst door de geschriften van Joseph-Louis Lagrange. Dirichlet voegde ook aan de algemene theorie toe, evenals talrijke bijdragen aan de toepassingen van het onderwerp.
Johann Heinrich Lambert bewees (1761) dat π niet rationeel kan zijn, en dat en irrationeel is als n rationeel is (tenzij n = 0)., Terwijl Lambert ‘ s bewijs vaak onvolledig wordt genoemd, ondersteunen moderne beoordelingen het als bevredigend, en in feite voor zijn tijd is het ongewoon rigoureus. Adrien-Marie Legendre (1794) gaf na de invoering van de Bessel–Clifford-functie een bewijs om aan te tonen dat π2 irrationeel is, waaruit onmiddellijk volgt dat π ook irrationeel is. Het bestaan van transcendentale getallen werd voor het eerst vastgesteld door Liouville (1844, 1851). Later bewees Georg Cantor (1873) hun bestaan met een andere methode, die aantoonde dat elk interval in de realen transcendentale getallen bevat., Charles Hermite (1873) bewees voor het eerst e transcendentaal, en Ferdinand von Lindemann (1882), uitgaande van Hermites conclusies, toonde hetzelfde voor π. Lindemanns bewijs werd sterk vereenvoudigd door Weierstrass (1885), nog verder door David Hilbert (1893), en werd uiteindelijk elementair gemaakt door Adolf Hurwitz en Paul Gordan.