zoals hierboven beschreven, wordt de reële prijs van een “straight bond” (een obligatie zonder ingesloten opties; zie obligatie (financiën)# Features) gewoonlijk bepaald door de verwachte kasstromen tegen de juiste discontovoet te discontoveren. De algemeen toegepaste formule wordt in eerste instantie besproken. Hoewel deze contante-waardeverhouding de theoretische benadering van het bepalen van de waarde van een obligatie weerspiegelt, wordt de koers ervan in de praktijk (meestal) bepaald met betrekking tot andere, meer liquide instrumenten. De twee belangrijkste benaderingen hier, relatieve prijsstelling en Arbitrage-vrije prijsstelling, worden hierna besproken., Ten slotte kan stochastische calculus worden gebruikt wanneer het van belang is te erkennen dat de toekomstige rente onzeker is en dat de discontovoet niet voldoende wordt weergegeven door één vast getal—bijvoorbeeld wanneer een optie op de betrokken obligatie wordt geschreven.
contante waardebenadering
Hieronder is de formule voor het berekenen van de prijs van een obligatie, die gebruik maakt van de basis contante waarde (PV) – formule voor een gegeven discontovoet:deze formule gaat ervan uit dat een couponbetaling zojuist heeft plaatsgevonden; zie hieronder voor aanpassingen op andere data.
P = (C 1 + i + C (1 + i ) 2 + . . ., + C ( 1 + I ) N ) + M ( 1 + i ) N = ( ∑ n = 1 N C ( 1 + i ) n ) + M ( 1 + i ) N = C ( 1 − ( 1 + i ) − N I ) + M ( 1 + i ) − N {\displaystyle {\begin{aligned}P&={\begin{matrix}\left({\frac {C}{1+i}}+{\frac {C}} {(1+i)^{2}}}+…,)+{\frac {M}{(1+i)^{N}}}\end{matrix}}\\&={\begin{matrix}\left(\som _{n=1}^{N}{\frac {C}{(1+i)^{n}}}\right)+{\frac {M}{(1+i)^{N}}}\end{matrix}}\\&={\begin{matrix}C\left({\frac {1-(1+i)^{-N}}{i}}\right)+M(1+i)^{-N}\end{matrix}}\end{aligned}}}, waarin: F = de nominale waarden als = contractuele rente C = F * iF = coupon (periodieke rentebetaling) N = aantal betalingen i = rentevoet, of de vereiste rendement, of waargenomen / passende rendement tot de vervaldag (zie hieronder) M = de waarde op de vervaldag, gewoonlijk gelijk aan de nominale waarde, P = koers van een obligatie.,
relatieve prijsbenadering
bij deze benadering – een uitbreiding of toepassing van het bovenstaande-zal de obligatie worden geprijsd ten opzichte van een benchmark, gewoonlijk een overheidsobligatie; zie relatieve waardering. Hier wordt het rendement op de looptijd van de obligatie bepaald op basis van de kredietrating van de obligatie ten opzichte van een overheidsobligatie met een vergelijkbare looptijd of looptijd; zie Credit spread (obligatie)., Hoe beter de kwaliteit van de obligatie, hoe kleiner de spread tussen het vereiste rendement en de YTM van de benchmark. Dit vereiste rendement wordt dan gebruikt om de obligatiekasstromen te verdisconteren, ter vervanging van i {\displaystyle i} in de bovenstaande formule, om de prijs te verkrijgen.,
Arbitrage-free pricing approachEdit
een obligatie kan worden beschouwd als een “pakket kasstromen”—coupon of face—waarbij elke kasstroom wordt beschouwd als een nulcouponinstrument dat vervalt op de datum waarop de obligatie zal worden ontvangen. Dus, in plaats van het gebruik van een enkele disconteringsvoet, moet men gebruik maken van meerdere disconteringsvoeten, waarbij elke cashflow verdisconteerd tegen zijn eigen tarief., In dit geval wordt elke kasstroom afzonderlijk gedisconteerd tegen hetzelfde tarief als een nulcouponobligatie die overeenkomt met de coupondatum, en met een gelijkwaardige kredietwaardigheid (indien mogelijk van dezelfde emittent als de obligatie die wordt gewaardeerd, of indien niet, met de passende kredietspread).
bij deze benadering moet de obligatieprijs zijn “arbitragevrije” prijs weerspiegelen, aangezien elke afwijking van deze prijs zal worden benut en de obligatie dan snel zal terugkeren naar het juiste niveau. Hier passen we de rationele prijslogica toe met betrekking tot “activa met identieke kasstromen”., In detail: (1) de coupondata en couponbedragen van de obligatie zijn met zekerheid bekend. Daarom kan (2) een veelvoud (of een fractie) van nulcouponobligaties, elk overeenkomend met de coupondata van de obligatie, worden gespecificeerd om identieke kasstromen te produceren ten opzichte van de obligatie. Zo (3) moet de obligatieprijs vandaag gelijk zijn aan de som van elk van zijn kasstromen gedisconteerd tegen de discontovoet die wordt geïmpliceerd door de waarde van de overeenkomstige ZCB., Indien dit niet het geval was, (4) kon de arbitrageur zijn aankoop van de obligatie of de som van de verschillende ZCB ‘ s die goedkoper was, financieren door short selling de andere, en door zijn kasstroomverplichtingen na te komen met behulp van de coupons of het vervallen van nullen, naargelang van het geval. Dan (5)zijn “risicovrij”, arbitrage winst zou het verschil tussen de twee waarden. Zie onder Rational pricing # vastrentende waardepapieren.,
stochastische calculusbenadering
bij het modelleren van een obligatieoptie of een ander rentederivaat (IRD) is het belangrijk te erkennen dat de toekomstige rentetarieven onzeker zijn en dat daarom de hierboven genoemde disconteringsvoet(en) in alle drie gevallen—d.w.z. voor alle coupons of voor elke individuele coupon—niet voldoende wordt weergegeven door een vast (deterministisch) getal. In dergelijke gevallen wordt stochastische calculus gebruikt.
de oplossing voor de PDE (d.w.z. de overeenkomstige formule voor obligatiewaarde) — gegeven in Cox et al., – is:
P = E T ∗ {\displaystyle P = E_{t}^{\ast }}
waarbij E T ∗ {\displaystyle E_{t}^{\ast }} de verwachting is met betrekking tot risiconeutrale waarschijnlijkheden, en R ( t , T ) {\displaystyle R(t,T)} een willekeurige variabele is die de discontovoet weergeeft; zie ook Martingale prijsstelling.
om de obligatieprijs daadwerkelijk te bepalen, moet de analist het specifieke shortrentemodel kiezen dat moet worden gebruikt. De meest gebruikte benaderingen zijn:
- het CIR-model
- het zwart-Derman-speelgoedmodel
- Het Hull-wit model
- het HJM-raamwerk
- Het Chen-model.,
merk op dat, afhankelijk van het geselecteerde model, een gesloten-vorm (“Zwart – achtige”) oplossing mogelijk niet beschikbaar is, en een op rooster-of simulatie gebaseerde implementatie van het model in kwestie wordt gebruikt. Zie ook Obligatieoptie § waardering.