forntida GreeceEdit
det första beviset på förekomsten av irrationella tal är vanligtvis hänförligt till en Pythagoras (eventuellt Hippasus av Metapontum), som förmodligen upptäckte dem medan de identifierade sidor av pentagrammet.Den dåvarande pythagoranska metoden skulle ha hävdat att det måste finnas en tillräckligt liten, odelbar enhet som kan passa jämnt i en av dessa längder såväl som den andra., Hippasus, i 5: e århundradet f. Kr., kunde dock dra slutsatsen att det faktiskt inte fanns någon gemensam måttenhet, och att påståendet om en sådan existens faktiskt var en motsägelse. Han gjorde detta genom att visa att om hypotenusen hos en isosceles högra triangel verkligen var jämförbar med ett ben, måste en av dessa längder som mäts i den måttenheten vara både udda och jämn, vilket är omöjligt. Hans resonemang är följande:
- börja med en isosceles högra triangel med sidlängder av heltal a, b och C. förhållandet mellan hypotenusen och ett ben representeras av c:B.,
- anta A, b och c är i minsta möjliga termer (dvs de har inga gemensamma faktorer).
- av Pythagoras sats: c2 = a2+b2 = b2+b2 = 2b2. (Eftersom triangeln är likbent, a = b).
- eftersom C2 = 2b2 är C2 delbart med 2, och därför även.
- eftersom c2 är jämn måste c vara jämn.
- eftersom c är jämn, dividerar C med 2 ett heltal. Låt y vara detta heltal (c = 2y).
- kvadrera båda sidor av C = 2Y utbyten C2 = (2y) 2, eller C2 = 4y2.
- att ersätta 4y2 för c2 i den första ekvationen (C2 = 2b2) ger oss 4y2 = 2b2.,
- dividera med 2 utbyten 2y2 = b2.
- eftersom y är ett heltal, och 2y2 = b2, b2 är delbar med 2, och därför även.
- eftersom b2 är jämn måste b vara jämn.
- Vi har just visat att både b och c måste vara jämn. Därför har de en gemensam faktor på 2. Detta motsäger dock antagandet att de inte har några gemensamma faktorer. Denna motsägelse visar att C och b inte kan vara heltal, och därmed förekomsten av ett tal som inte kan uttryckas som ett förhållande mellan två heltal.,
grekiska matematiker kallade detta förhållande av oföränderliga magnituder alogos eller oförutsägbara. Hippasus var dock inte lovordad för sina ansträngningar: enligt en legend gjorde han sin upptäckt medan han var ute till sjöss och kastades därefter överbord av sina medpythagoras ” … för att ha producerat ett element i universum som förnekade…doktrinen att alla fenomen i universum kan reduceras till hela tal och deras förhållanden.”En annan legend säger att Hippasus bara var förvisad för denna uppenbarelse., Oavsett konsekvensen för Hippasus själv utgjorde hans upptäckt ett mycket allvarligt problem för Pythagoras matematik, eftersom det krossade antagandet att antal och geometri var oskiljaktiga–en grund för deras teori.
upptäckten av oföränderliga förhållanden var ett tecken på ett annat problem som grekerna stod inför: förhållandet mellan det diskreta och det kontinuerliga. Detta togs upp i ljuset av Zeno av Elea, som ifrågasatte uppfattningen att kvantiteterna är diskreta och består av ett begränsat antal enheter av en viss storlek., Tidigare grekiska uppfattningar dikterade att de nödvändigtvis måste vara, för ”hela tal representerar diskreta föremål, och ett balanserat förhållande representerar ett förhållande mellan två samlingar av diskreta föremål”, men Zeno fann att i själva verket ” i allmänhet inte är diskreta samlingar av enheter; det är därför förhållanden av oföränderliga visas….uantiteter är med andra ord kontinuerliga.”Vad detta betyder är att det, i motsats till den populära uppfattningen av tiden, inte kan finnas en odelbar, minsta måttenhet för någon kvantitet. Att i själva verket måste dessa divisioner av kvantitet nödvändigtvis vara oändliga., Tänk till exempel på ett linjesegment: det här segmentet kan delas i hälften, den hälften delas i hälften, hälften av hälften i hälften och så vidare. Denna process kan fortsätta oändligt, för det finns alltid ytterligare en halv att dela upp. Ju fler gånger segmentet halveras desto närmare kommer måttenheten till noll, men den når aldrig exakt noll. Detta är precis vad Zeno försökte bevisa. Han försökte bevisa detta genom att formulera fyra paradoxer, vilket visade motsägelserna i den matematiska tanken på tiden., Medan Zenos paradoxer tydligt visade bristerna i nuvarande matematiska uppfattningar betraktades de inte som bevis på alternativet. I grekernas sinnen, motbevisa giltigheten av en åsikt inte nödvändigtvis bevisa giltigheten av en annan, och därför ytterligare undersökning var tvungen att ske.
nästa steg togs av Eudoxus av Cnidus, som formaliserade en ny teori om proportioner som tog hänsyn till såväl obotliga som oföränderliga kvantiteter. Central för hans idé var skillnaden mellan storlek och nummer. Omfattning ”…,var inte ett tal men stod för enheter som linjesegment, vinklar, områden, volymer och tid som kan variera, som vi skulle säga, kontinuerligt. Magnituder motsatte sig siffror, som hoppade från ett värde till ett annat, från 4 till 5.”Numren består av några minsta, odelbara enheter, medan magnituder är oändligt reducerbara. Eftersom inga kvantitativa värden tilldelades magnituder kunde Eudoxus då redogöra för både obotliga och oföränderliga förhållanden genom att definiera ett förhållande i förhållande till dess storlek och proportion som jämlikhet mellan två förhållanden., Genom att ta kvantitativa värden (siffror) ur ekvationen undvek han fällan att behöva uttrycka ett irrationellt tal som ett tal. ”Eudoxus teori gjorde det möjligt för de grekiska matematikerna att göra enorma framsteg i geometri genom att tillhandahålla den nödvändiga logiska grunden för oföränderliga förhållanden.”Denna oföränderlighet behandlas i Euclids element, bok X, Proposition 9.
som ett resultat av skillnaden mellan antal och storlek blev geometri den enda metoden som kunde ta hänsyn till oföränderliga förhållanden., Eftersom tidigare numeriska fundament fortfarande var oförenliga med begreppet oföränderlighet, flyttade grekiskt fokus bort från de numeriska uppfattningarna som algebra och fokuserade nästan uteslutande på geometri. Faktum är att algebraiska uppfattningar i många fall omformulerades till geometriska termer. Detta kan redogöra för varför vi fortfarande tänker på x2 och x3 som x kvadrat och x kubed istället för x till den andra kraften och x till den tredje kraften., Också avgörande för Zenos arbete med oföränderliga storheter var det grundläggande fokuset på deduktiva resonemang som berodde på grundandet av tidigare grekisk matematik. Insikten att någon grundläggande uppfattning inom den befintliga teorin var i strid med verkligheten krävde en fullständig och grundlig undersökning av axiom och antaganden som ligger till grund för den teorin. Av denna nödvändighet utvecklade Eudoxus sin utmattningsmetod, en slags reductio ad absurdum som”…etablerade den deduktiva organisationen på grundval av uttryckliga Axiom…”liksom”…,förstärkt det tidigare beslutet att förlita sig på deduktiva resonemang för bevis.”Denna utmattningsmetod är det första steget i skapandet av kalkyl.
Theodorus av Cyrene visade irrationaliteten hos överskotten av hela tal upp till 17, men stannade där förmodligen för att algebra han använde inte kunde appliceras på kvadratroten av 17.
det var inte förrän Eudoxus utvecklade en teori om proportioner som tog hänsyn till både irrationella och rationella förhållanden som en stark matematisk grund för irrationella tal skapades.,
IndiaEdit
geometriska och matematiska problem med irrationella tal som fyrkantiga rötter behandlades mycket tidigt under vediska perioden i Indien. Det finns hänvisningar till sådana beräkningar i Samhitas, Brahmanas, och Shulba Sutras (800 f kr eller tidigare). (Se Väska, Indiska Journal of History of Science, 25(1-4), 1990).
det föreslås att begreppet irrationalitet implicit accepterades av indiska matematiker sedan 7th century BC, när Manava (C., 750-690 f. Kr.) trodde att de kvadratiska rötterna av siffror som 2 och 61 inte kunde exakt bestämmas. Historikern Carl Benjamin Boyer skriver dock att ”sådana påståenden inte är väl underbyggda och osannolikt att vara sanna”.
det föreslås också att Aryabhata (5: e århundradet e. Kr.), vid beräkning av ett värde av pi till 5 signifikanta siffror, använde ordet āsanna (närmar sig), för att betyda att inte bara detta är en approximation utan att värdet är oföränderligt (eller irrationellt).,
senare, i sina avhandlingar, skrev indiska matematiker på aritmetiken av surder inklusive addition, subtraktion, multiplikation, rationalisering, samt separation och extraktion av kvadratiska rötter.
matematiker som Brahmagupta (i 628 AD) och Bhāskara I (i 629 AD) gjorde bidrag på detta område liksom andra matematiker som följde. Under 1100-talet utvärderade Bhāskara II några av dessa formler och kritiserade dem och identifierade deras begränsningar.,
under 1300-och 1500-talen upptäckte Madhava från Sangamagrama och Kerala School of astronomy and mathematics den oändliga serien för flera irrationella tal som π och vissa irrationella värden för trigonometriska funktioner. JYE triphadeva gav bevis för dessa oändliga serier i Yuktibhāā.
Medelåldersedit
under medeltiden tillät utvecklingen av Algebra av muslimska matematiker irrationella tal att behandlas som algebraiska objekt., Mellanöstern matematiker samman också begreppen ”nummer ” och” magnitud ” i en mer allmän uppfattning om reella tal, kritiserade Euclids idé om förhållanden, utvecklade teorin om sammansatta förhållanden och utvidgade begreppet antal till förhållanden av kontinuerlig storlek. I sin kommentar till bok 10 av elementen undersökte den persiska matematikern Al-Mahani (d. 874/884)och klassificerade kvadratiska irrationella och kubiska irrationella. Han gav definitioner för rationella och irrationella storheter, som han behandlade som irrationella tal., Han behandlade dem fritt men förklarar dem i geometriska termer enligt följande:
”det kommer att bli en rationell (magnitud) när vi till exempel säger 10, 12, 3%, 6%, osv., eftersom dess värde uttalas och uttrycks kvantitativt. Vad som inte är rationellt är irrationellt och det är omöjligt att uttala och representera sitt värde kvantitativt. Till exempel: rötterna av siffror som 10, 15, 20 som inte är kvadrater, sidorna av siffror som inte är kuber etc.,”
i motsats till Euclids koncept av magnituder som linjer betraktade Al-Mahani heltal och fraktioner som rationella magnituder och kvadratiska rötter och kubrötter som irrationella magnituder. Han introducerade också ett aritmetiskt tillvägagångssätt för begreppet irrationalitet, eftersom han tillskriver följande till irrationella magnituder:
”deras summor eller skillnader, eller resultat av deras tillägg till en rationell storlek, eller resultat av att subtrahera en storlek av detta slag från en irrationell eller av en rationell storlek från den.,”
den egyptiska matematikern Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850 – 930) var den första som accepterade irrationella tal som lösningar på kvadratiska ekvationer eller som koefficienter i en ekvation, ofta i form av kvadratiska rötter, kubrötter och fjärde rötter. Under 900-talet gav den irakiska matematikern Al-Hashimi allmänna bevis (snarare än geometriska demonstrationer) för irrationella tal, eftersom han ansåg multiplikation, division och andra aritmetiska funktioner., Iranska matematiker, Abū Ja’far al-Khāzin (900-971) ger en definition av rationella och irrationella storheter, som säger att om en bestämd kvantitet är:
”som finns i en viss given storlek en gång eller många gånger, då detta (ges) omfattning motsvarar ett rationellt tal. . . . Varje gång denna (senare) magnitud innefattar en halv, eller en tredjedel, eller en fjärdedel av den givna storleken (av enheten), eller, jämfört med (enheten), innefattar tre, fem eller tre femtedelar, är det en rationell storlek., Och i allmänhet är varje storlek som motsvarar denna storlek (dvs till enheten), som ett tal till ett annat, rationell. Om en storleksordning emellertid inte kan representeras som en multipel, en del (1/n) eller delar (m/n) av en viss storlek, är den irrationell, dvs. den kan inte uttryckas annat än med hjälp av rötter.”
många av dessa begrepp accepterades så småningom av europeiska matematiker någon gång efter de latinska översättningarna av 1200-talet., Al-Hassār, en marockansk matematiker från Fez som specialiserat sig på islamisk arv rättspraxis under 12-talet, nämner först användningen av en fraktionerad bar, där täljare och nämnare separeras av en horisontell bar. I sin diskussion skriver han,”…, till exempel, om du blir tillsagd att skriva tre femtedelar och en tredjedel av en femtedel, skriv så, 3 1 5 3 {\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}} .”Samma fraktionella notation framträder strax efter i Leonardo Fibonaccis arbete på 1200-talet.,
Modern periodEdit
1600-talet såg imaginära tal Bli ett kraftfullt verktyg i händerna på Abraham de Moivre, och särskilt av Leonhard Euler. Slutförandet av teorin om komplexa tal i 1800-talet innebar differentiering av irrationella i algebraiska och transcendentala tal, beviset på förekomsten av transcendentala tal och återuppkomsten av den vetenskapliga studien av teorin om irrationella, ignorerade i stor utsträckning sedan Euclid., År 1872 såg publiceringen av teorier av Karl Weierstrass (av hans elev Ernst Kossak), Eduard Heine (Crelle Tidning, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), och Richard Dedekind. Méray hade tagit 1869 samma utgångspunkt som Heine, men teorin är allmänt kallad år 1872. Weierstrass metod har lagts fram helt av Salvatore Pincherle 1880, och Dedekinds har fått ytterligare framträdande genom författarens senare arbete (1888) och godkännande av Paul garveriet (1894)., Weierstrass, Cantor och Heine baserar sina teorier på oändliga serier, medan Dedekind grundar sin på idén om en snitt (Schnitt) i systemet med alla rationella tal, separera dem i två grupper som har vissa karakteristiska egenskaper. Ämnet har fått senare bidrag i händerna på Weierstrass, Leopold Kronecker (Crelle, 101), och Charles Méray.,
fortsatta fraktioner, nära besläktade med irrationella tal (och på grund av Cataldi, 1613), fick uppmärksamhet i händerna på Euler, och vid öppnandet av 1800-talet blev framträdande genom Joseph-Louis Lagranges skrifter. Dirichlet lade också till den allmänna teorin, som har många bidragsgivare till ämnets tillämpningar.
Johann Heinrich Lambert bevisade (1761) att π inte kan vara rationellt, och att en är irrationell om n är rationell (om inte n = 0)., Medan Lamberts bevis ofta kallas ofullständiga, stöder moderna bedömningar det som tillfredsställande, och för sin tid är det ovanligt rigoröst. Adrien-Marie Legendre (1794), efter att ha introducerat Bessel-Clifford-funktionen, tillhandahöll ett bevis för att π2 är irrationellt, varifrån det omedelbart följer att π också är irrationellt. Förekomsten av transcendentala tal fastställdes först av Liouville (1844, 1851). Senare visade Georg Cantor (1873) sin existens med en annan metod, vilket visade att varje intervall i realerna innehåller transcendentala tal., Charles Hermite (1873) visade först E transcendental, och Ferdinand von Lindemann (1882), med utgångspunkt från Hermitens slutsatser, visade detsamma För π. Lindemanns bevis förenklades mycket av Weierstrass (1885), ännu längre av David Hilbert (1893), och slutligen gjordes elementära av Adolf Hurwitz och Paul Gordan.