som ovan bestäms det verkliga priset för en ”rak obligation” (en obligation utan inbäddade optioner; se Bond (Finans)# – funktioner) vanligtvis genom att diskontera sina förväntade kassaflöden till lämplig diskonteringsränta. Formeln som vanligen tillämpas diskuteras initialt. Även om detta nuvärdesförhållande återspeglar det teoretiska tillvägagångssättet för att bestämma värdet av en obligation, bestäms priset i praktiken (vanligtvis) med hänvisning till andra, mer likvida instrument. De två huvudsakliga tillvägagångssätten här, relativ prissättning och Arbitrage-fri prissättning, diskuteras härnäst., Slutligen, när det är viktigt att erkänna att framtida räntor är osäkra och att diskonteringsräntan inte är tillräckligt representerad av ett enda fast tal—till exempel när en option skrivs på obligationen i fråga—kan stokastisk kalkyl användas.
nuvärde approachEdit
nedan är formeln för beräkning av ett obligations pris, som använder basic present value (PV) formel för en viss diskonteringsränta:denna formel förutsätter att en kupongbetalning just har gjorts; se nedan för justeringar på andra datum.
P = C 1 + jag + C ( 1 + i ) 2 + . . ., + C ( 1 + i ) N ) + m ( 1 + i ) n = (n = 1 n c ( 1 + i ) n ) + m ( 1 + i ) n = c ( 1 − ( 1 + i ) − n I ) + m ( 1 + i ) − N {\displaystyle {\begin{aligned}p&={\begin{matrix}\left({\frac {C}{1+i}}+{\frac {C}{(1+i)^{2}}}+…,)+{\frac {m}{(1+i)^{n}}}\end{matrix}\\\&={\begin{matrix}\left (\sum _{n=1}^{n} {\frac {C} {(1+i)^{n}}}\right)+{\frac {m} {(1+i)^{n}}}\end{matrix}\\&={\begin{Matrix} C\left ({\frac {1-(1+i)^{-n}} {i}}\right)+m(1+i)^{-n}\end{matrix}} \ end{aligned}}} där: f = nominella värden om = avtalsenlig ränta c = f * if = kupongbetalning (periodisk räntebetalning) n = antal betalningar i = marknadsränta, eller erforderlig avkastning, eller observerad / lämplig avkastning till förfall (se nedan) m = värde vid förfallodagen motsvarar vanligtvis nominellt värde p = marknadspris för obligationer.,
relativ pris approachEdit
enligt denna metod—en förlängning, eller tillämpning, av ovanstående—obligationen kommer att prissättas i förhållande till ett riktmärke, vanligtvis en statlig säkerhet; se relativ värdering. Här fastställs avkastningen till förfallodagen på obligationen utifrån obligationens kreditbetyg i förhållande till en statlig säkerhet med liknande löptid eller löptid, se kreditspridning (obligation)., Ju bättre kvaliteten på obligationen desto mindre är spridningen mellan den erforderliga avkastningen och referensmålets YTM. Denna obligatoriska avkastning används sedan för att diskontera obligationskassaflödena, som ersätter i {\displaystyle i} i formeln ovan, för att få priset.,
Arbitrage-free pricing approachEdit
till skillnad från de två relaterade tillvägagångssätten ovan kan en obligation ses som ett ”paket av kassaflöden”—kupong eller ansikte—med varje kassaflöde betraktat som ett nollkuponginstrument som förfaller den dag det kommer att tas emot. Således, i stället för att använda en enda diskonteringsränta, bör man använda flera diskonteringsräntor och diskontera varje kassaflöde till sin egen kurs., Här diskonteras varje kassaflöde separat till samma kurs som en nollkupongsobligation som motsvarar kupongdatumet och av likvärdig kreditvärdighet (om möjligt från samma emittent som den obligation som värderas, eller om inte, med lämplig kreditspridning).
enligt detta tillvägagångssätt bör obligationspriset återspegla sitt ”arbitrage-free” – pris, eftersom varje avvikelse från detta pris kommer att utnyttjas och obligationen kommer sedan snabbt att återkomma till sin korrekta nivå. Här tillämpar vi den rationella prissättningslogiken avseende ”tillgångar med identiska kassaflöden”., I detalj: (1) obligationens kupongdatum och kupongbelopp är kända med säkerhet. Därför kan (2) vissa multipla (eller fraktioner) av nollkupongobligationer, som var och en motsvarar obligationens kupongdatum, anges för att producera identiska kassaflöden till obligationen. (3) obligationspriset i dag måste således vara lika med summan av vart och ett av dess kassaflöden diskonterade till den diskonteringsränta som beräknats med värdet av motsvarande ZCB., Var detta inte fallet, (4) skiljenämnden kunde finansiera sitt köp av vilken av obligationen eller summan av de olika ZCBs var billigare, genom blankning den andra, och uppfylla sina kassaflödesförpliktelser med hjälp av kuponger eller mognande nollor som är lämpligt. Sedan (5) Hans ”riskfri”, arbitrage vinst skulle vara skillnaden mellan de två värdena. Se under rationell prissättning # räntebärande värdepapper.,
stokastisk kalkyl approachEdit
vid modellering av en obligations option, eller andra räntederivat (IRD), är det viktigt att erkänna att framtida räntor är osäkra, och därför är den diskonteringsränta(er) som avses ovan, under alla tre fall—dvs. om för alla kuponger eller för varje enskild kupong—inte tillräckligt representerad av ett fast (deterministiskt) nummer. I sådana fall används stokastisk kalkyl.
lösningen på PDE (dvs. motsvarande formel för bondvärde) — ges i Cox et al., – is:
p = e t {\displaystyle P=e_{t}^{\ast }}
där E t {\displaystyle e_{t}^{\ast }} är förväntan med avseende på riskneutrala sannolikheter , och R ( t,T ) {\displaystyle R(T, T)} är en slumpmässig variabel som representerar diskonteringsräntan; se även Martingale prissättning.
för att faktiskt bestämma obligationspriset måste analytikern välja den specifika kortränta modell som ska användas. De metoder som vanligen används är:
- CIR–modellen
- den svart–Derman-Leksaksmodellen
- den Skrovvita modellen
- HJM-ramverket
- Chen-modellen.,
Observera att en lösning med sluten form (”svart som”) kanske inte är tillgänglig beroende på vilken modell som valts, och att en gitter-eller simuleringsbaserad implementering av modellen i fråga sedan används. Se även Obligationsalternativ § värdering.